下学期 4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质3

正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现.

联想诱导公式，若令则，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：

对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期.

如，，…及，…都是正弦函数的周期.

注意：周期函数定义中有两点须重视，一是是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立.

师：请同学们思考下列问题：①对于函数，有能否说是正弦函数的周期.

生：不能说是正弦函数的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式成立，所以不符合周期函数的定义.

②是周期函数吗？为什么

生：若是周期函数，则有非零常数，使，即，化简得，∴（不非零），或（不是常数），故满足非零常数不存在，因而不是周期函数.

思考题：若为的周期，则对于非零整数，也是的周期.（课外思考）

（2）最小正周期的定义

师：我们知道…，，，，…都是正弦函数的周期，可以证明（且）是的周期，其中是的最小正周期.

一般地，对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.

今后若涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.

依据定义，和的最小正周期为.

（3）例题分析

【例1】求下列函数的周期：

（1），；（2），；

（3），.

分析：由周期函数的定义，即找非零常数，使.

解：（1）因为余弦函数的周期是，所以自变量只要并且至少要增加到，余弦函数的值才能重复取得，函数，的值也才能重复取得，从而函数，的周期是.

即，∴

（2）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，就是说，变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复取得，而所以自变量只要并且至少要增加到，函数值就能重复取得，从而函数，的周期是.

即 

∴

（3）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，由于，所以自变量只要并且至少要增加到，函数值才能重复取得，即是能使等式成立的最小正数，从而函数，的周期是.

而

∴

师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量的系数有关，其规律如何？你能否求出函数，及函数，（其中，，为常数，且，）的周期？

生：

∴.

同理可求得的周期.

【例2】求证：

（1）的周期为；

（2）的周期为；

（3）的周期为.

分析：依据周期函数定义证明.

证明：（1）

∴的周期为.

（2）

∴的周期为.

（3）

∴的周期为.

3.演练反馈（投影）

（1）函数的最小正周期为（     ）

A.B.C.D.

（2）的周期是_________

（3）求的最小正周期.

参考答案：

（1）C；（2） ∴

（3）欲求的周期，一般是把三角函数化成易求周期的函数或的形式，然后用公式求最小正周期，而化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数.

由

4.总结提炼

（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期.

（2）设，.若为的周期，则必有：①为无限集，②；③在上恒成立.

（3）只有或型的三角函数周期才可用公式，不具有此形式，不能套用.如，就不能说它的周期为.

（四）板书设计 

课题

1.周期函数定义

两点注意：

思考问题①

②

2.最小正周期定义

例1

例2

的周期

的周期

练习反馈

总结提炼

思考题：设是定义在上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当时，，求上的表达式

参考答案：