下学期 4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质2

（一）教学具准备

直尺，投影仪.

（二）教学目标 

1.掌握，的定义域、值域、最值、单调区间.

2.会求含有、的三角式的定义域.

（三）教学过程 

1.设置情境

研究函数就是要讨论一些性质，，是函数，我们当然也要探讨它的一些属性.本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质.

2.探索研究

师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？

生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等.

师：很好，今天我们就来探索，两条最基本的性质——定义域、值域.（板书课题正、余弦函数的定义域、值域.）

师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像.

师：请同学思考以下几个问题：

（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？

（2）正弦、余弦函数的值域是什么？

（3）他们最值情况如何？

（4）他们的正负值区间如何分？

（5）的解集如何？

师生一起归纳得出：

（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是.

（2）正弦函数、余弦函数的值域都是即，，称为正弦函数、余弦函数的有界性.

（3）取最大值、最小值情况：

正弦函数，当时，（）函数值取最大值1，当时，（）函数值取最小值－1.

余弦函数，当，（）时，函数值取最大值1，当，（）时，函数值取最小值－1.

（4）正负值区间：

（）

（5）零点：（）

（）

3.例题分析

【例1】求下列函数的定义域、值域：

（1）；（2）；（3）.

解：（1），

（2）由（）

又∵，∴

∴定义域为（），值域为.

（3）由（），又由

∴

∴定义域为（），值域为.

指出：求值域应注意用到或有界性的条件.

【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时的集合：

（1），；（2），；

（3）（4）.

解：（1）当，即（）时，取得最大值

∴函数的最大值为2，取最大值时的集合为.

（2）当时，即（）时，取得最大值.

∴函数的最大值为1，取最大值时的集合为.

（3）若，，此时函数为常数函数.

若时，∴时，即（）时，函数取最大值，

∴时函数的最大值为，取最大值时的集合为.

（4）若，则当时，函数取得最大值.

若，则，此时函数为常数函数.

若，当时，函数取得最大值.

∴当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为；当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为，当时，函数无最大值.

指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对或的系数进行讨论.

思考：此例若改为求最小值，结果如何？

【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？

（1）；（2）.

解：（1）由，

∴当时，式子有意义.

（2）由，即

∴当时，式子有意义.

4.演练反馈（投影）

（1）函数，的简图是（     ）

（2）函数的最大值和最小值分别为（    ）

A.2，－2      B.4，0       C.2，0        D.4，－4

（3）函数的最小值是（    ）

A.        B.－2         C.         D.

（4）如果与同时有意义，则的取值范围应为（    ）

A.     B.     C.     D.或

（5）与都是增函数的区间是（     ）

A.，              B.，

C.，         D.，

（6）函数的定义域________，值域________，时的集合为_________.

参考答案：1.B  2.B  3.A 4.C 5.D 

6.；；

5.总结提炼

（1），的定义域均为.

（2）、的值域都是

（3）有界性： 

（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的集合为无限集.

（5）正负敬意及零点，从图上一目了然.

（6）单调区间也可以从图上看出.

（五）板书设计 

1.定义域

2.值域

3.最值

4.正负区间

5.零点

例1例2例3