下学期 4.10 正切函数的图象和性质1

（一）教学具准备

直尺、投影仪.

（二）教学目标 

1.会用“正切线”和“单移法”作函数的简图.

2.掌握正切函数的性质及其应用.

（三）教学过程 

1.设置情境

正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性，为了更好研究其性质，我们首先讨论的作图.

2.探索研究

师：请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出图像的.

生：在单位圆上取终边为（弧度）的角，作出其正弦线，设，在直角坐标系下作点，则点即为图像上一点.

师：这位同学讲得非常好，本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制图像.

（1）用正切线作正切函数图像

师：首先我们分析一下正切函数是否为周期函数？

生：∵

∴是周期函数，是它的一个周期.

师：对，我们还可以证明，是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图像，下面我们利用正切线画出函数，的图像.

作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆.

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线.

③找横坐标（把轴上到这一段分成8等份）.

④找纵坐标，正切线平移.

⑤连线.

图1

根据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且（）的图像，并把它叫做正切曲线（如图1）.图2

（2）正切函数的性质

请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性.

①定义域：

②值域

由正切曲线可以看出，当小于（）且无限亲近于时，无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作（读作趋向于正无穷大）；当大于且无限接近于，无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作（读作趋向于负无穷大）.这就是说，可以取任何实数值，但没有最大值、最小值.

因此，正切函数的值域是实数集.

③周期性

正切函数是周期函数，周期是.

④奇偶性

∵，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点对称.

⑤单调性

由正切曲线图像可知：正切函数在开区间（，），内都是增函数.

（3）例题分析

【例1】求函数的定义域.

解：令，那么函数的定义域是

由   ，可得  

所以函数的定义域是

【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1）与；

（2）与.

解：（1）∵

又 ∵，在上是增函数

∴

（2）∵

又  ∵，函数，是增函数，

∴ 即.

说明：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到的同一单调区间内，利用的单调递增性来解决.

3.演练反馈（投影）

（1）直线（为常数）与正切曲线（为常数且）相交的相邻两点间的距离是（     ）

A.B.C.D.与值有关

（2）是的（      ）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（3）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角集合

①②

参考答案：

（1）C.注：与相邻两点之间距离即为周期长

（2）D.注：由，但，反之，但

（3）①

②

4.总结提炼

（1）的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。

（2）性质.

定义域

值域

周期

奇偶性

单调增区间

对称中心

渐近线方程

奇函数

，

（四）板书设计 

课题……

1.用正切线作正切函数图像

2.正切函数的性质例1例2