下学期 4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质1

（一）教学具准备

直尺、圆规、投影仪.

（二）教学目标 

1.了解作正、余弦函数图像的四种常见方法.

2.掌握五点作图法，并会用此方法作出上的正弦曲线、余弦曲线.

3.会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像.

（三）教学过程 （可用课件辅助教学）

1.设置情境

引进弧度制以后，就可以看做是定义域为的实变量函数.作为函数，我们首先要关注其图像特征.本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法.

2.探索研究

（1）复习正弦线、余弦线的概念

前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（师画图1）

设任意角的终边与单位圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，则有向线段叫做角的正弦线，有向线段叫做角的余弦线.

（2）在直角坐标系中如何作点

由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角的大小，就能用几何方法作出对应的正弦值的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点？

教师引导学生用图2的方法画出点.

我们能否借助上面作点的方法在直角坐标系中作出正弦函数，的图像呢？

 ①用几何方法作，的图像

我们知道，作函数的图像的步骤是：列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的图像误差也大，为克服这一不足，我们用前面作点的几何方法来描点，从而使图像的精确度有了提高.

（边画图边讲解），我们先作在上的图像，具体分为如下五个步骤：

a.作直角坐标系，并在直角坐标系中轴左侧画单位圆.

b.把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确）.过单位圆上的各分点作轴的垂线，可以得到对应于0，，，，…，角的正弦线.

c.找横坐标：把轴上从0到（）这一段分成12等分.

d.找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点.

e.连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得，的图像.

②作正弦曲线，的图像.

图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数，，且的图像与函数，的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数，的图像向左、右平移（每次个单位长度），就可以得到正弦函数数，的图像，如图1.

正弦函数，的图像叫做正弦曲线.

③五点法作，的简图

师：在作正弦函数，的图像时，我们描述了12个点，但其中起关键作用的是函数，与轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依次它们的坐标吗？

生：（0，0），，，，

师：事实上，只要指出这五个点，，的图像的形状就基本确定了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图.

④用变换法作余弦函数，的图像

因为，所以，与是同一个函数，即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移个长度单位角得到，余弦函数的图像叫做余弦曲线，如图2，师：请同学们说出在函数，的图像上，起关键作用的五个点的坐标.

生：（0，1），，，，

3.例题分析

【例1】画出下列函数的简图：

（1），；

（2），.

解：（1）按五个关键点列表0