下学期 4.7 二倍角的正弦、余弦、正切2

（一）教学具准备
投影仪

（二）教学目标 
1.应用倍角公式解决本章开头的一个应用问题.
2.活用倍角公式，推求半角公式.

（三）教学过程 
1.设置情境
请同学看教材第3页上的一段文字，它叙述的是一个生活中的实际问题：
“如图1，是一块以点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上画出一个内接矩形辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另两点、落在半圆的圆周上.已知半圆的半径为，如何选择关于点对称的点、的位置，可以使矩形的面积最大？”根据教材提示应用所学的倍角公式，同学们能尝试解答它吗？
2.探索研究
分析：要使矩形的面积最大，就必须想办法把面积表示出来，不妨利用我们所学的三角知识，从角的方面进行考虑，设，则，，所以可以用表示.
解：设 则 

∵ ∴
当时，  即，
这时 ，
答：点、分别位于点的左、右方处时取得最大值.
变式：把一段半径为的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？
生：根据上题的结果可知这时圆内接矩形为内接正方形时面积最大.
以上是倍角公式在实际生活中的运用，请同学们观察以下例题，并分析、思考后能否得出证明.
3.例题分析
【例1】求证：
（1）；（2）；
（3）.
思考，讨论.
我们知道公式中是任意的，所以我们可以用来替换，这样就得到


即           

上面三式左边都是平方形式，当的值已知，角的终边所在象限已知时，就可以将右边开方，从而求得：
         
以上两式相除又得：

这三个式子称之为半角公式，“±”号的取舍得由终边所在象限确定.

【例2】求证：
.
分析：从例1引出例2，，右边是同一个三角函数，并且还要附上正负号，而所要证明的式子右边有两个三角函数，不带正负号.故我们不能利用上法，得另想办法.
师：（边叙述边板书）


∴
上式不含根号也不必考虑“±”号选取，通常用于化简或证明三角恒等式，同样可作半角公式运用.

【例3】已知：，求，，.
解：


说明：①例1中（1）、（2）两式使用频率极高，正、逆使用都非常普遍.习惯从左到右，常称“扩角降幂公式”，从右到左常谓“缩角升幂公式”，
②半角公式是二倍角公式的另一种表达方式，倍半关系是相对的.
练习（投影）
1.已知：      （），
求：（1）；（2）.
2.若，求：的值.
3.求：的值.

参考答案：
解：1.∵
两边平方得             ∴
又∵       ∴
∴        ∴
2.∵   ∴
原式
（3）




另解：设 ……………………①
……………………②
①＋②得…………………………③
①－②得……④
③＋④得   ∴
4.总结提炼
（1）本节课我们由倍角公式出发解决了实际应用问题，得出结论“在一个圆的所有内接矩形中，以内接正方形的面积为最大”，另外由倍角公式解答了例1、例2，从而推导出半角公式，公式“±”号的选取决定于终边所在的象限，例2的应用也很广泛，大家可根据题目的条件选择使用较为方便的形式.
（2）从半角公式可以看出，半角的正弦、余弦、正切公式都可以用单角的余弦来表示.
（3）若给出的是象限角，则可根据下表决定符号.的终边一