第一册函数的概念

更新时间：2025-08-12 11:34:15

教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想.

教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的要素；

（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；

教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

教学过程：

一、引入课题

复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题

备用实例：

我国2003年4月份非典疫情统计：

日

期

新增确诊病例数

106

105

103

113

126

152

101

引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系.

二、新课教学

（一）函数的有关概念

1.函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）.

记作：

y=f(x)，x∈A.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）.

注意：

“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.

构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

3.区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示.

4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论

（由学生完成，师生共同分析讲评）

（二）典型例题

1.求函数定义域

课本P₂₀

例1

解：（略）

说明：

函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；

如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；

函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

巩固练习：课本P₂₂

第1题

2.判断两个函数是否为同一函数

课本P₂₁

例2

解：（略）

说明：

构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

巩固练习：

课本P₂₂

第2题

判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

（1）f(x)=(x－1)⁰

；g(x)=1

（2）f(x)=x；g(x)=

（3）f(x)=x²

；f(x)=(x+1)²

（4）f(x)=|x|；g(x)=

（三）课堂练习

求下列函数的定义域

（1）

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