下学期 5.6平面向量的数量积及运算律2

一、教学目标 

1.掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题；

2.掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；

3.了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4.通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；

5.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的应用，培养学生的应用意识.

二、教学重点 平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件；

教学难点  平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用.

三、教学具准备

投影仪

四、教学过程 

1.设置情境

上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？

2.探索研究

（1）师：什么叫做两个向量的数量积？

生：（与向量的数量积等式的模与在的方向上的投影的乘积）

师：向量的数量积有哪些性质？

生：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

师：向量的数量积满足哪些运算律？

生（由学生验证得出）

交换律：

分配律：

师：这个式子成立吗？（由学生自己验证）

生：，因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。

（2）例题分析

【例1】求证：

（1）

（2）

分析：本例与多项式乘法形式完全一样。

证：     

注：（其中、为向量）

答：一般不成立。

【例2】已知，，与的夹角为，求.

解：∵

注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值.

【例3】已知，且与不共线，当且仅当为何值时，向量与互相垂直.

分析：师：两个向量垂直的充要条件是什么？

生：

解：与互相垂直的充要条件是

即

∵  

∴

∴ 

∴ 当且仅当时，与互相垂直.

3.演练反馈（投影）

（1）已知，为非零向量，与互相垂直，与互相垂直，求与的夹角.

（2），为非零向量，当的模取最小值时，

①求的值；

②求证：与垂直.

（3）证明：直径所对的圆周角为直角.

参考答案：

（1）

（2）解答：①由

当时最小；

②∵

∴与垂直.

（3）如图所示，设，，（其中为圆心，为直径，为圆周上任一点）

则

∵ ，

∴  即 圆周角

4.总结提炼

（l）

（2）向量运算不能照搬实数运算律，如结合律数量积运算就不成立.

（3）要学会把几何元素向量化，这是用向量法证几何问题的先决条件.

（4）对向量式不能随便约分，因为没有这条运算律.

五、板书设计 课题：

1.数量积性质

2.数量积运算律

例题

1

2

3

演练反馈

总结提炼