下学期 4.10 正切函数的图象和性质（通用2篇）

下学期4.10正切函数的图象和性质篇1

4.10正切函数的图象和性质

第二课时

（一）教学具准备

投影仪

（二）教学目标 

运用正切函数图像及性质解决问题.

（三）教学过程 

1.设置情境

本节课，我们将综合应用正切函数的性质，讨论泛正切函数的性质.

2.探索研究

（1）复习引入

师：上节课我们学习了正切函数的作图及性质，下面请同学们复述一下正切函数的主要性质

生：正切函数，定义域为；值域为；周期为；单调递增区间，.

（2）例题分析

【例1】判断下列函数的奇偶性：

（1）；（2）；

分析：根据函数的奇偶性定义及负角的诱导公式进行判断.

解：（1）∵的定义域为关于原点对称.

∴为偶函数

（2）∵的定义域为关于原点对称，且且，

∴即不是奇函数又不是偶函数.

说明：函数具有奇、偶性的必要条件之一是定义域关于原点对称，故难证或成立之前，要先判断定义域是否关于原点对称.

【例2】求下列函数的单调区间：

（1）；（2）.

分析：利用复合函数的单调性求解.

解：（1）令，则

∵为增函数，在，上单调递增，

∴在，即上单调递增.

（2）令，则

∵为减函数，在上单调递增，

∴在上单调递减，即在上单调递减.

【例3】求下列函数的周期：

（1）（2）.

分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周期为来解.

解：（1）

∴周期

（2）

∴周期

师：从上面两例，你能得到函数的周期吗？

生：周期

【例4】有两个函数，（其中），已知它们的周期之和为，且，，求、、的值.

解：∵的周期为，的周期为，由已知得

∴函数式为，，由已知，得方程组

即解得

∴，，

［参考例题］求函数的定义域.

解：所求自变量必须满足

（）

（）

故其定义域为

3.演练反馈（投影）

（1）下列函数中，同时满足①在上递增；②以为周期；③是奇函数的是（     ）

A.B.C.D.

（2）作出函数  ，且的简图.

（3）函数的图像被平行直线_______隔开，与轴交点的横坐标是__________，与轴交点的纵坐标是_________，周期________，定义域__________，它的奇偶性是_____________.

参考答案：（1）C.

（2）

如图

（3）（）；，（）；1；；；非奇非偶函数.

4.总结提炼

（1）的周期公式，它没有极值，正切函数在定义域上不具有单调性（非增函数），了不存在减区间.

（2）求复合函数的单调区间，应首先把、变换为正值，再用复合函数的单调性判断法则求解.

（四）板书设计 

课题——

例1

例2

例3

例4

［参考例题］

演练反馈

总结提炼

下学期4.10正切函数的图象和性质篇2

4.10正切函数的图象和性质

第一课时

（一）教学具准备

直尺、投影仪.

（二）教学目标 

1.会用“正切线”和“单移法”作函数的简图.

2.掌握正切函数的性质及其应用.

（三）教学过程 

1.设置情境

正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性，为了更好研究其性质，我们首先讨论的作图.

2.探索研究

师：请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出图像的.

生：在单位圆上取终边为（弧度）的角，作出其正弦线，设，在直角坐标系下作点，则点即为图像上一点.

师：这位同学讲得非常好，本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制图像.

（1）用正切线作正切函数图像

师：首先我们分析一下正切函数是否为周期函数？

生：∵

∴是周期函数，是它的一个周期.

师：对，我们还可以证明，是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图像，下面我们利用正切线画出函数，的图像.

作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆.

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线.

③找横坐标（把轴上到这一段分成8等份）.

④找纵坐标，正切线平移.

⑤连线.

图1

根据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且（）的图像，并把它叫做正切曲线（如图1）.

图2

（2）正切函数的性质

请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性.

①定义域：

②值域

由正切曲线可以看出，当小于（）且无限亲近于时，无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作（读作趋向于正无穷大）；当大于且无限接近于，无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作（读作趋向于负无穷大）.这就是说，可以取任何实数值，但没有最大值、最小值.

因此，正切函数的值域是实数集.

③周期性

正切函数是周期函数，周期是.

④奇偶性

∵，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点对称.

⑤单调性

由正切曲线图像可知：正切函数在开区间（，），内都是增函数.

（3）例题分析

【例1】求函数的定义域.

解：令，那么函数的定义域是

由   ，可得  

所以函数的定义域是

【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1）与；

（2）与.

解：（1）∵

又 ∵，在上是增函数

∴

（2）∵

又  ∵，函数，是增函数，

∴ 即.

说明：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到的同一单调区间内，利用的单调递增性来解决.

3.演练反馈（投影）

（1）直线（为常数）与正切曲线（为常数且）相交的相邻两点间的距离是（     ）

A.B.C.D.与值有关

（2）是的（      ）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（3）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角集合

①②

参考答案：

（1）C.注：与相邻两点之间距离即为周期长

（2）D.注：由，但，反之，但

（3）①

②

4.总结提炼

（1）的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。

（2）性质.

定义域

值域

周期

奇偶性

单调增区间

对称中心

渐近线方程

奇函数

，

（四）板书设计 

课题……

1.用正切线作正切函数图像

2.正切函数的性质

例1

例2

演练反馈

总结提炼