下学期 4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质（通用3篇）

更新时间：2025-08-12 11:34:15

下学期4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质篇1

4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第三课时）

（一）教学具准备

直尺、投影仪.

（二）教学目标

1.理解，的周期性概念，会求周期.

2.初步掌握用定义证明的周期为的一般格式.

（三）教学过程

1.设置情境

自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等.数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角的终边每转一周又会与原来的位置重合，故，的值也具有周而复始的变化规律.为定量描述这种周而复始的变化规律，今天，我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性（板书课题）

2.探索研究

（1）周期函数的定义

引导学生观察下列图表及正弦曲线

－1

正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现.

联想诱导公式，若令则，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：

对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期.

如，，…及，…都是正弦函数的周期.

注意：周期函数定义中有两点须重视，一是是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立.

师：请同学们思考下列问题：①对于函数，有能否说是正弦函数的周期.

生：不能说是正弦函数的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式成立，所以不符合周期函数的定义.

②是周期函数吗？为什么

生：若是周期函数，则有非零常数，使，即，化简得，∴（不非零），或（不是常数），故满足非零常数不存在，因而不是周期函数.

思考题：若为的周期，则对于非零整数，也是的周期.（课外思考）

（2）最小正周期的定义

师：我们知道…，，，，…都是正弦函数的周期，可以证明（且）是的周期，其中是的最小正周期.

一般地，对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.

今后若涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.

依据定义，和的最小正周期为.

（3）例题分析

【例1】求下列函数的周期：

（1），；（2），；

（3），.

分析：由周期函数的定义，即找非零常数，使.

解：（1）因为余弦函数的周期是，所以自变量只要并且至少要增加到，余弦函数的值才能重复取得，函数，的值也才能重复取得，从而函数，的周期是.

即，∴

（2）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，就是说，变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复取得，而所以自变量只要并且至少要增加到，函数值就能重复取得，从而函数，的周期是.

即

∴

（3）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，由于，所以自变量只要并且至少要增加到，函数值才能重复取得，即是能使等式成立的最小正数，从而函数，的周期是.

而

∴

师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量的系数有关，其规律如何？你能否求出函数，及函数，（其中，，为常数，且，）的周期？

生：

∴.

同理可求得的周期.

【例2】求证：

（1）的周期为；

（2）的周期为；

（3）的周期为.

分析：依据周期函数定义证明.

证明：（1）

∴的周期为.

（2）

∴的周期为.

（3）

∴的周期为.

3.演练反馈（投影）

（1）函数的最小正周期为（）

A.B.C.D.

（2）的周期是_________

（3）求的最小正周期.

参考答案：

（1）C；（2） ∴

（3）欲求的周期，一般是把三角函数化成易求周期的函数或的形式，然后用公式求最小正周期，而化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数.

由

4.总结提炼

（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期.

（2）设，.若为的周期，则必有：①为无限集，②；③在上恒成立.

（3）只有或型的三角函数周期才可用公式，不具有此形式，不能套用.如，就不能说它的周期为.

（四）板书设计

课题

1.周期函数定义

两点注意：

思考问题①

②

2.最小正周期定义

例1

例2

的周期

练习反馈

总结提炼

思考题：设是定义在上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当时，，求上的表达式

参考答案：

下学期4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质篇2

4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第一课时）

（一）教学具准备

直尺、圆规、投影仪.

（二）教学目标

1.了解作正、余弦函数图像的四种常见方法.

2.掌握五点作图法，并会用此方法作出上的正弦曲线、余弦曲线.

3.会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像.

（三）教学过程（可用课件辅助教学）

1.设置情境

引进弧度制以后，就可以看做是定义域为的实变量函数.作为函数，我们首先要关注其图像特征.本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法.

2.探索研究

（1）复习正弦线、余弦线的概念

前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（师画图1）

设任意角的终边与单位圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，则有向线段叫做角的正弦线，有向线段叫做角的余弦线.

（2）在直角坐标系中如何作点

由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角的大小，就能用几何方法作出对应的正弦值的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点？

教师引导学生用图2的方法画出点.

我们能否借助上面作点的方法在直角坐标系中作出正弦函数，的图像呢？

①用几何方法作，的图像

我们知道，作函数的图像的步骤是：列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的图像误差也大，为克服这一不足，我们用前面作点的几何方法来描点，从而使图像的精确度有了提高.

（边画图边讲解），我们先作在上的图像，具体分为如下五个步骤：

a.作直角坐标系，并在直角坐标系中轴左侧画单位圆.

b.把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确）.过单位圆上的各分点作轴的垂线，可以得到对应于0，，，，…，角的正弦线.

c.找横坐标：把轴上从0到（）这一段分成12等分.

d.找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点.

e.连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得，的图像.

②作正弦曲线，的图像.

图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数，，且的图像与函数，的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数，的图像向左、右平移（每次个单位长度），就可以得到正弦函数数，的图像，如图1.

正弦函数，的图像叫做正弦曲线.

③五点法作，的简图

师：在作正弦函数，的图像时，我们描述了12个点，但其中起关键作用的是函数，与轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依次它们的坐标吗？

生：（0，0），，，，

师：事实上，只要指出这五个点，，的图像的形状就基本确定了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图.

④用变换法作余弦函数，的图像

因为，所以，与是同一个函数，即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移个长度单位角得到，余弦函数的图像叫做余弦曲线，如图2，师：请同学们说出在函数，的图像上，起关键作用的五个点的坐标.

生：（0，1），，，，

3.例题分析

【例1】画出下列函数的简图：

（1），；

（2），.

解：（1）按五个关键点列表

－1

利用五点法作出简图3

师：请说出函数与的图像之间有何联系？

生：函数，的图像可由，的图像向上平移1个单位得到.

（2）按五个关键点列表

－1

利用五点法作出简图4

师：，与，的图像有何联系？

生：它们的图像关于轴对称.

练习：

（1）说出，的单调区间；

（2）说出，的奇偶性.

参考答案：（1）由，图像知、，为其单调递增区间，为其单调递减区间

（2）由，图像知是偶函数.

4.总结提炼

（1）本课介绍了四种作，图像的方法，其中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点.

（2）用平移诱变法，由这不是新问题，在函数一章学习平移作图时，就使用过，请同学们作比较.应该说明的是由平移量是不惟一的，方向也可左可右.

5.演练反馈，（投影）

（1）在同一直角坐标系下，用五点法分别作出下列函数的图像

①，②，

（2）观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的的区间.

①，②，③，④

（3）画出下列函数的简图

①， ②， ③，

参考答案：

（1）

（2）①，， ②、，

③ ④

（3）

（五）板书设计

课题

1.正、余弦函数线

2.作点

3.作，的图像

4.五点法作正弦函数图像

5.变换法作的图像

6.五点法作余弦函数图像

7.例题

（1）

（2）

演练反馈

总结提炼

下学期4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质篇3

4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第二课时）

（一）教学具准备

直尺，投影仪.

（二）教学目标

1.掌握，的定义域、值域、最值、单调区间.

2.会求含有、的三角式的定义域.

（三）教学过程

1.设置情境

研究函数就是要讨论一些性质，，是函数，我们当然也要探讨它的一些属性.本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质.

2.探索研究

师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？

生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等.

师：很好，今天我们就来探索，两条最基本的性质——定义域、值域.（板书课题正、余弦函数的定义域、值域.）

师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像.

师：请同学思考以下几个问题：

（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？

（2）正弦、余弦函数的值域是什么？

（3）他们最值情况如何？

（4）他们的正负值区间如何分？

（5）的解集如何？

师生一起归纳得出：

（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是.

（2）正弦函数、余弦函数的值域都是即，，称为正弦函数、余弦函数的有界性.

（3）取最大值、最小值情况：

正弦函数，当时，（）函数值取最大值1，当时，（）函数值取最小值－1.

余弦函数，当，（）时，函数值取最大值1，当，（）时，函数值取最小值－1.

（4）正负值区间：

（）

（5）零点：（）

（）

3.例题分析

【例1】求下列函数的定义域、值域：

（1）；（2）；（3）.

解：（1），

（2）由（）

又∵，∴

∴定义域为（），值域为.

（3）由（），又由

∴

∴定义域为（），值域为.

指出：求值域应注意用到或有界性的条件.

【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时的集合：

（1），；（2），；

（3）（4）.

解：（1）当，即（）时，取得最大值

∴函数的最大值为2，取最大值时的集合为.

（2）当时，即（）时，取得最大值.

∴函数的最大值为1，取最大值时的集合为.

（3）若，，此时函数为常数函数.

若时，∴时，即（）时，函数取最大值，

∴时函数的最大值为，取最大值时的集合为.

（4）若，则当时，函数取得最大值.

若，则，此时函数为常数函数.

若，当时，函数取得最大值.

∴当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为；当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为，当时，函数无最大值.

指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对或的系数进行讨论.

思考：此例若改为求最小值，结果如何？

【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？

（1）；（2）.

解：（1）由，

∴当时，式子有意义.

（2）由，即

∴当时，式子有意义.

4.演练反馈（投影）

（1）函数，的简图是（）

（2）函数的最大值和最小值分别为（）

A.2，－2 B.4，0 C.2，0 D.4，－4

（3）函数的最小值是（）

A. B.－2 C. D.

（4）如果与同时有意义，则的取值范围应为（）

A. B. C. D.或

（5）与都是增函数的区间是（）

A.， B.，

C.， D.，

（6）函数的定义域________，值域________，时的集合为_________.

参考答案：1.B 2.B 3.A 4.C 5.D

6.；；

5.总结提炼

（1），的定义域均为.

（2）、的值域都是

（3）有界性：

（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的集合为无限集.

（5）正负敬意及零点，从图上一目了然.

（6）单调区间也可以从图上看出.

（五）板书设计

1.定义域

2.值域

3.最值

4.正负区间

5.零点

例1

例2

例3

课堂练习

课后思考题：求函数的最大值和最小值及取最值时的集合

提示：