下学期 4.11 已知三角函数值求角2

一.教学目标 

1.掌握已知一角的正切值，求角的方法.

2.掌握给定区间内，用反三角函数表示一个角的方法.

二.教学具准备

投影仪

三.教学过程 

1.设置情境

师：请同学们看投影，回答问题

（1）若，，则.

（2）若，则.

生：（1）或.

（2）或.

师：回答正确.请同学结合上面两个小题的求解过程，总结一下已知三角函数值求角的一般步骤：

生：从上面两个小题的求解过程看，有三个步骤：

第一步，决定角可能是第几象限角.

第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角；如果函数值为负数，则先求了与其绝对值对应的锐角；

第三步，如果函数值为负数，则根据角可能是第几象限角，得出内对应的角—如果它是第二象限角，那么可表示为，如果它是第三或第四象限角，那么可表示为或.

师：总结得很好，本节课我们继续学习用反正切表示角的方法，先请同学看问题（投影仪）：

2.探索研究（此部分可由学生仿照正弦、余弦分析解决）

【例1】（1）已知，且，求（精确到）.

（2）已知，且，求的取值集合.

解：（1）由正切函数在开区间上是增函数和可知，符合条件的角有且只有一个，利用计算器可得（或）.

（2）由正切函数的周期性，可知时，，所以所求的的集合是.

下面讨论反正切概念，请看图形（图1）（投影仪）：

观察正切函数的图像的性质，为了使符合条件（为任意实数）的角有且只有一个，我们选择开区间作基本的范围，在这个开区间内，符合条件（为任意实数）的角，叫做实数反正切，记作，即，其中，且，那么，此例第（2）小题的答案可以写成.

表示的意义：表示一个角，角的特点是①角的正切值为x，因此角的大小受x的限制；②并不是所有满足的角都可以，只能是范围内满足的角；③由于x为角的正切值，所以x的值可为全体实数.

【例2】（1）已知，且，求.

（2）已知，且，求的取值集合.

解：（1）因为，所以.由正切函数在开区间上是增函数可知符合条件的角有且只有一个，所以.

（2）由正切函数的周期性，可知当时，.

∴所求的取值集合是.

参考例题（供层次高的学生使用）：

1.求值.

解：根据诱导公式，且，

∴.

评法：由于反正弦表示内的一个角，而，所以应先用诱导公式将其转化为区间内的角，再进行计算.

2.求的值.

解：∵、表示中的角

∴令，则，

，则

∴

又∵和均为锐角

∴

∴

3.演练反馈（投影）

（1）满足的的集合是（    ）

A.B.

C.D.

（2）已知是第二象限角，是，则.

（3）已知，，且为第三象限角，为第四象限角，求、.

参考答案：

（1）D（2），.

（3）

∵为第三象限角，为第四象限角.

∴，，

4.总结提炼

（1）由反正切定义知：，   ，

（2）已知：，，用表示范围