下学期 5.3实数与向量的积（通用2篇）

下学期5.3实数与向量的积篇1

（第一课时）

一.教学目标 

1.理解并掌握实数与向量的积的意义.

2.理解两个向量共线的充要条件，能根据条件判断两个向量是否共线；

3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.

二.教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件；

教学难点 ：理解实数与向量的积的定义，向量共线的充要条件；

三.教学具准备

直尺、投影仪.

四.教学过程 

1.设置情境

我们知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现，如力与加速度的关系f=ma，位移与速度的关系s=vt.这些公式都是实数与向量间的关系.

师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，（已知向量已作在投影片上），并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？

生：的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同，的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反.

师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积（一））

2.探索研究

师：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？可结合教材思考.

生：我想这样规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量.

师：想法很好.不过我们要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行.

实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：

（1）

（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，

下面我们讨论作为数乘向量的基本运算律：

师：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）

生：，

师：设、为任意向量，，为任意实数，则有：

（1）（2）（3）

通常将（1）称为结合律，（2）（3）称为分配律，有时为了区别，也把（2）叫第一分配律，（3）叫第二分配律.

请看例题

【例1】计算：（1），（2）.

（3）

解：（1）原式

（2）原式

（3）原式.

下面我们研究共线向量与实乘向量的关系.

师：请同学们观察，，有什么关系.

生：因为，所以、是共线向量.

师：若、是共线向量，能否得出？为什么，可得出吗？为什么？

生：可以！因为、共线，它们的方向相同或相反.

师：由此可得向量共线的充要条件.向量与非零向量共线的充分必要条件是有且仅有一个实数，使得

此即教材中的定理.

对此定理的证明，是两层来说明的.

其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中的第（2）条知与共线，即与共线.

其二，若与共线，且不妨令，设（这是实数概念）.接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.

【例2】如图：已知，，试判断与是否共线.

解：∵

∴与共线.

练习（投影仪）

设、是两个不共线向量，已，，若、、三点共线，求的值.

参考答案

∵、、三点共线.

∴、共线存在实数，使

即

∴，

3.练习反馈（投影仪）

（1）若为的对角线交点，，，则等于（    ）

A.        B.        C.          D.

（2）在△中，点、、分别是边、、的中点，那么.

（3）如图所示，在平行四边形中，是中点，点是上一点，求证、、三点共线.

参考答案：

（1）B；（2）；

（3）设，则又，∴∴、、共线.

4.总结提炼

（1）与的积还是向量，与是共线的.

（2）一维空间向量的基本定理的内容和证明思路，也是应用该定理解决问题的思路.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.

（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项.

五.板书设计 

1.实数与向量的积定义

2.运算律

①

②

③

3.向量共线定理

例1

2

演练反馈

总结提炼

下学期5.3实数与向量的积篇2

（第二课时）

一.教学目标 

1.了解平面向量基本定理的证明.掌握平面向量基本定理及其应用；

2.能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示.

二.教学重点：平面向量基本定理

教学难点 ：理解平面向量基本定理.

三.教学具准备

直尺、投影仪.

四.教学过程 

1.设置情境

上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来.这个非零向量叫基向量.那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了.

2.探索研究

师：向量与非零向量共线的充要条件是什么？

生：有且仅有一个实数，使得

师：如何作出向量？

生：在平面上任取一点，作，，则

师：对！我们知道向量是向量与的合成，、也可以看做是由向量的分解，是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢？

平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使

我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

说明：①实数，的确定是由平面几何作图得到的，同时也应用了上节课的共线向量基本定理.

②对该定理重在使用.

下面看例题

【例1】已知向量、，求作.

【例2】如图所示，的两条对角线相交于点，且，，用、表示、、和？

解：在中

∵

∴

说明：①这些表示方法很常用，要熟记

②用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是、，由它可以“生”成，，…….

【例3】如图所示，已知的两条对角线与交于，是任意一点，求证

证明：∵是对角线和的交点

∴，.在△中，

同理：

相加可得：

注：本题也可以取基本向量，，，，利用三角形中线公式（向量），得两种表示方式：

①

②

①＋②得证毕.

【例4】如图所示、不共线，（），用，表示.

解  ∵

∴

说明：①本题是个重要题型：设为平面上任一点.

则：、、三点共线

或令，则、、三点共线（其中）

②当时，常称为△的中线公式（向量式）.

3.演练反馈

（1）命题：向量与共线；命题：有且只有一个实数，使；则是的（     ）

A.充分不必要条件              B.必要不充分条件

C.充要条件                    D.不充分不必要条件

（2）已知和不共线，若与共线，则实数的值等于____________.

（3）如图△中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值.

参考答案：

（1）B（2）

（3）解：（如图）设，，则，

，∵、、和、、分别共线，∴存在、，使，.

故，而.

∴由基本定理得∴∴，即

4.总结提炼

（1）当平面内取定一组基底，后，任一向量都被、惟一确定，其含义是存在惟一这数对，使，则必有且.

（2）三点、、共线（其中且）

五.板书设计