下学期 5.3实数与向量的积1

一.教学目标 

1.理解并掌握实数与向量的积的意义.

2.理解两个向量共线的充要条件，能根据条件判断两个向量是否共线；

3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.

二.教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件；

教学难点 ：理解实数与向量的积的定义，向量共线的充要条件；

三.教学具准备

直尺、投影仪.

四.教学过程 

1.设置情境

我们知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现，如力与加速度的关系f=ma，位移与速度的关系s=vt.这些公式都是实数与向量间的关系.

师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，（已知向量已作在投影片上），并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？

生：的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同，的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反.

师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积（一））

2.探索研究

师：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？可结合教材思考.

生：我想这样规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量.

师：想法很好.不过我们要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行.

实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：

（1）

（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，

下面我们讨论作为数乘向量的基本运算律：

师：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）

生：，

师：设、为任意向量，，为任意实数，则有：

（1）（2）（3）

通常将（1）称为结合律，（2）（3）称为分配律，有时为了区别，也把（2）叫第一分配律，（3）叫第二分配律.

请看例题

【例1】计算：（1），（2）.

（3）

解：（1）原式

（2）原式

（3）原式.

下面我们研究共线向量与实乘向量的关系.

师：请同学们观察，，有什么关系.

生：因为，所以、是共线向量.

师：若、是共线向量，能否得出？为什么，可得出吗？为什么？

生：可以！因为、共线，它们的方向相同或相反.

师：由此可得向量共线的充要条件.向量与非零向量共线的充分必要条件是有且仅有一个实数，使得

此即教材中的定理.

对此定理的证明，是两层来说明的.

其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中的第（2）条知与共线，即与共线.

其二，若与共线，且不妨令，设（这是实数概念）.接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.

【例2】如图：已知，，试判断与是否共线.

解：∵

∴与共线.

练习（投影仪）

设、是两个不共线向量，已，，若、、三点共线，求的值.

参考答案

∵、、三点共线.

∴、共线存在实数，使

即

∴，

3.练习反馈（投影仪）

（1）若为的对角线交点，，，则等于（    ）

A.        B.        C.          D.

（2）在△中，点、、分别是边、、的中点，那么.

（3）如图所示，在平行四边形中，是中点，点是上一点，求证、、三点共线.

参考答案：

（1）B；（2）；

（3）设，则又，∴∴、、共线.

4.总结提炼

（1）与的积还是向量，与是共线的.

（2）一维空间向量的基本定理的内容和证明思路，也是应用该定理解决问题的思路.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.

（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项.

五.板书设计 

1.实数与向量的积定义

2.运算律

①

②

③

3.向量共线定理例12