下学期 5.5 线段的定比分点

一.教学目标 

1.理解点P分有向线段所成的比λ的含义，能确定λ的正负号；

2.掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式，并能熟练运用这两个公式解决实际问题；

3.向学生渗透数形结合的思想，培养学生的思维能力，发现事物间的变化规律.

二.教学重点 线段的定比分点和终点的坐标公式的应用.

教学难点   用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还时λ＜0.

三.教学具准备

投影仪，直尺.

四.教学过程 

1.设置情境

已知线段的两个端点、，为线段所在直线上任一点，由共线向量知识，必有.我们能否解决这样的问题，（1）已知及、，求P点坐标；（2）已知、及，求值.

本节课就来讨论上述两个问题，（板书课题——线段的定比分点）

2.探索研究

（1）师：请同学们回忆叙述向量的加、减、实数与向量的积的坐标运算法则.

生：两个向量的和（差）的坐标，等于这两个向量的相应的坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标，等于这个实数与这个向量的相应坐标的积.

师：已知直线l上两点、，在直线l上取不同于、的任一点P，则P点的位置有哪几种情形？

生：有三种情形，P在之间；P在的延长线上，P在的延长线上.

师：请得很好，下面我们就P在直线上的三种情况给出定义：

设、是直线l上的两点，点P是l上不同于、的任意一点，若存在一个实数使，则叫做点P分有向线段所成的比.

你能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定的取值范围吗？（启发学生从向量的方向上考虑）

生：当P在之间时，与方向相同，所以；当点P在的延长线上时，；若点P在的延长线上时，同理可得.

下面我们利用平面向量的坐标运算推导定比分点坐标公式

师：设，，P分所成的比为，如何求P点的坐标呢？

（按以下思路引导学生进行思考）

师：设，你能用坐标表示等式吗？

生：

师：由两个向量相等的条件，可以得出什么结论呢？

生：

师：对！这就是线段的定比分点P的坐标公式，特别地，当时，得中点P的坐标公式：

（2）例题分析

【例1】 已知两点，，求点分所成的比及y的值.

解：由线段的定比分点坐标公式得

【例2】 如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且，求点G的坐标.

 解：∵D是AB的中点

∴点D的坐标为

∵

∴

由定比分点坐标公式可得G点坐标为：

即点G的坐标为，也就是的重心的坐标公式.

3.演练反馈（投影）

（1）如图所示，点B分有向线段的比为，点C分有向线段的比为，点A分有向线段的比为.

（2）连结A（4，1）和B（－2，4）两点的直线，和x轴交点的坐标是      ，和y轴交点的坐标是           .

（3）如图所示，中，AB的中点是D（－2，1），AC的中点是E（2，3），重心是G（0，1），求A、B、C的坐标.

参考答案：（1）；（2）（6，0）、（0，3）；（3）用三角形基法作图得：A（0，5），B（－4，－3），C（4，1）

4.总结提炼

（1）定比分点的几种表达方式：

……向量式

……坐标式

……公式形式

（2）中点公式，重心公式要熟记.

（3）定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法.

五.板书设计 

1.定比分点的定义

（1）内分点3.例1

（2）外分点

a.

b.

2.分点坐标公式 4.演练反馈

a.5.总结提炼

b.