3.3 等差数列的前n项和（第一课时）

更新时间：2025-08-12 11:34:15

教学目的：1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题教学过程：一、复习引入：首先回忆一下前几节课所学主要内容：1.等差数列的定义：－=d，（n≥2，n∈n+）2.等差数列的通项公式： (或=pn+q(p、q是常数))3.几种计算公差d的方法：①d=－ ②d= ③d= 4.等差中项：成等差数列5.等差数列的性质：m+n=p+q (m,n,p,q∈n)6.伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时计算1+2+…100的小故事,小高斯的计算方法启发我们下面要研究的求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，—“倒序相加”法。二、讲解新课：1.数列的前n项和的定义：数列中，称为数列的前n项和，记为. 2.等差数列的前项和公式1：证明： ① ②①+②： ∵ ∴ 由此得： 1 3.等差数列的前项和公式2：把代入公式1即得： 24.等差数列的前项和公式的函数解析式特征：公式2又可化成式子：，当d≠0，是一个常数项为零的二次式。5.用方程思想理解等差数列的通项公式与前n项和公式：等差数列的通项公式与前n项和公式反映了等差数列的五个基本元素：a1,d,n,an,sn之间的关系，从方程的角度看，它们可以构成两个独立方程（前n项和公式1、2是等价的），五元素中“知三求二”，解常规问题可以通过解方程或解方程组解决.三、例题讲解例1某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：

7500

8000

8500

9000

9500

10000

1050

这位运动员7天共跑了多少米？（课本p116例1）例2等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？（课本p116例2）例3求集合m={m|m=7n,n∈n*,且m＜100}中元素的个数，并求这些元素的和.（课本p117例3）例4.已知等差数列{}中=13且=,那么n取何值时,取最大值.解法1：设公差为d，由=得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2d=-2, =13-2(n-1), =15-2n,由即得：6.5≤n≤7.5,所以n=7时,取最大值.解法2:由解1得d=-2,又a1=13所以 =-n+14n =-（n-7）+49∴当n=7，取最大值。对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）利用:当>0，d<0，前n项和有最大值。可由≥0，且≤0，求得n的值。当<0，d>0，前n项和有最小值。可由≤0，且≥0，求得n的值。（2）利用：由利用二次函数配方法求得最值时n的值。四、练习：已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前项和的公式.（课本p117例4）共2页，当前第1页12

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