下学期 5.6平面向量的数量积及运算律1

一、教学目标 

1.正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；

2.掌握平面向量的数量积的重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；

3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；

4.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.

二、教学重点 平面向量的数量积概念、性质及其应用

教学难点  平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解.

三、教学具准备

直尺，投影仪

四、教学过程 

1.设置情境

师：我们学过功的概念：即一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功：，其中表示一个什么角度？

表示力的方向与位移的方向的夹角.

我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，就一般向量、，来规定的含义。

2.探索研究

（l）已知两个非零向量和，在平面上任取一点，作，，则叫做向量与的夹角.你能指出下列图中两向量的夹角吗？

①与的夹角为，②与的夹角为，③与的夹角是，④与的夹角是.

（2）下面给出数量积定义：

师：（板书）已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量，叫做向量与的数量积或（内积）记作即

并规定

师：在平面向量的数量积的定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别.

生：向量的数量积结果是一个数量，而向量的加法和减法的结果还是一个向量.

师：你能从图中作出的几何图形吗？表示的几何意义是什么？

生：如图，过的终点作的垂线段，垂足为，则由直角三角形的性质得：

所以叫做向量在向量上的投影，叫做在上的投影.

师：因此我们得到的几何意义：向量与的数量积等于的长度与在的方向上的投影的积.

注意：1°投影也是一个数量，不是向量。

2°当q为锐角时投影为正值；

当q为钝角时投影为负值；

当q为直角时投影为0；

当q=0°时投影为|b|；

当q=180°时投影为-|b|。

向量的数量积的几何意义：

数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。

（3）下面讨论数量积的性质：

（每写一条让学生动手证一条）设，都是非零向量，是与的方向相同的单位向量，是与的夹角，则

①

②

③当与同向时，，当与反向时，。

特别地

④

⑤

3.演练反馈（投影）

（通过练习熟练掌握性质）

判断下列各题是否正确

（1）若，则对任意向量，有  （   ）

（2）若，则对任意非零量，有（   ）

（3）若，且，则         （   ）

（4）若，则或           （   ）

（5）对任意向量有                （   ）

（6）若，且，则        （  ）

参考答案：（l）√，（2）×，（3）×，（4）×，（5）√，（6）×.

4.总结提炼

（l）向量的数量的物理模型是力的做功.

（2）的结果是个实数（标量）

（3）利用，可以求两向量夹角，尤其是判定垂直。

（4）二向量夹角范围.

（5）五条属性要掌握.

五、板书设计 

  课题

1.“功”的抽象

2.数量积的定义

3.（5）条性质

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

4.演练反馈

5.总结提炼