子集、全集、补集

教学目标 ：

（1）理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念；
（2）了解全集、空集的意义，
（3）掌握有关的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力；
（4）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集；
（5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想；
（6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力.

教学重点：子集、补集的概念

教学难点 ：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别

教学用具：幻灯机

教学过程 设计

（一）导入  新课

上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识.

【提出问题】（投影打出）

已知，，，问：

1.哪些集合表示方法是列举法.
2.哪些集合表示方法是描述法.
3.将集M、集从集P用图示法表示.
4.分别说出各集合中的元素.
5.将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来.将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来.
6.集M中元素与集N有何关系.集M中元素与集P有何关系.

【找学生回答】

1.集合M和集合N；（口答）
2.集合P；（口答）
3.（笔练结合板演）

4.集M中元素有－1，1；集N中元素有－1，1，3；集P中元素有－1，1.（口答）
5.，，，，，，，（笔练结合板演）
6.集M中任何元素都是集N的元素.集M中任何元素都是集P的元素.（口答）

【引入】在上面见到的集M与集N；集M与集P通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题.

（二）新授知识

1.子集
（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。
记作：  读作：A包含于B或B包含A

当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：AB或BA.
性质：①（任何一个集合是它本身的子集）
②（空集是任何集合的子集）

【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？
【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合.
因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的.空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素.由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的.

（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
例：，可见，集合，是指A、B的所有元素完全相同.

（3）真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：（或），读作A真包含于B或B真包含A。

【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集.”
集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B.

【提问】

（1）写出数集N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。
（2）判断下列写法是否正确
①A ②A ③ ④AA

性质：

（1）空集是任何非空集合的真子集。若A，且A≠，则A；
（2）如果，，则.
例1 写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
解：集合的所有的子集是，，，，其中，，是的真子集.

【注意】（1）子集与真子集符号的方向。

      （2）易混符号

①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如R，{1}{1，2，3}
②{0}与：{0}是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合。
               如：{0}。不能写成={0}，∈{0}

例2见教材P₈（解略）

例3 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正.

（1）表示空集；
（2）空集是任何集合的真子集；
（3）不是；
（4）的所有子集是；
（5）如果且，那么B必是A的真子集；
（6）与不能同时成立.
解：（1）不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确；
（2）不正确.空集是任何非空集合的真子集；
（3）不正确.与表示同一集合；
（4）不正确.的所有子集是；
（5）正确
（6）不正确.当时，与能同时成立.

例4 用适当的符号（，）填空：

（1）；；；
（2）；；
（3）；
（4）设，，，则A   B    C.

解：（1）0   0    ；
（2）＝，；
（3）， ∴；
（4）A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C.

【练习】教材P₉

用适当的符号（，）填空：
（1）  ；         （5）  ；
（2）  ；     （6）  ；
（3）  ；     （7）  ；
（4）  ；    （8）  .

解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）＝；（6）；（7）；（8）.

提问：见教材P₉例子

（二）全集与补集

1.补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，即

.

A在S中的补集可用右图中阴影部分表示.

性质：_S（_SA）=A

如：（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则_SA={2，4，6}；
（2）若A={0}，则_NA=N^*；
（3）_RQ是无理数集。

2.全集：

如果集合S中含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示.

注：是对于给定的全集而言的，当全集不同时，补集也会不同.
例如：若，当时，；当时，则.

例5 设全集，，，判断与之间的关系.

解：∵

∴

∵

∴

∴

练习：见教材P₁₀练习

1.填空：

，，，那么，.

解：，

2.填空：

（1）如果全集，那么N的补集；
（2）如果全集，，那么的补集（）=        .
解：（1）；（2）.

（三）小结：本节课学习了以下内容：

1.五个概念（子集、集合相等、真子集、补集、全集，其中子集、补集为重点）
2.五条性质
（1）空集是任何集合的子集。ΦA
（2）空集是任何非空集合的真子集。ΦA （A≠Φ）
（3）任何一个集合是它本身的子集。
（4）如果，，则.
（5）_S（_SA）=A

3.两组易混符号：（1）“”与“”：（2）{0}与

（四）课后作业 ：见教材P₁₀习题1.2

（五）板书设计 ：

课题

一、知识点

（一）

（二）

例题：