平面向量教案

二、复习要求
1、向量的概念;
2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;
3、向量运算的运用
三、学习指导
1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。
2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下:
运算图形语言符号语言坐标语言
加法与减法
=
-=
记=(x1,y1),=(x1,y2)
则=(x1x2,y1y2)
-=(x2-x1,y2-y1)=
实数与向量
的乘积
=λ
λ∈r记=(x,y)
则λ=(λx,λy)两个向量
的数量积
·=||||
cos<,>
记=(x1,y1),=(x2,y2)
则·=x1x2y1y2
3、运算律
加法:=,()=()
实数与向量的乘积:λ()=λλ;(λμ)=λμ,λ(μ)=
(λμ)
两个向量的数量积:·=·;(λ)·=·(λ)=λ(·),()·=··
说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如(±)2=
4、重要定理、公式
(1)平面向量基本定理;如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1λ2,称λ1λλ2为,的线性组合。
根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为在基底{,}下的坐标,当取{,}为单位正交基底{,}时定义(λ1,λ2)为向量的平面直角坐标。
向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若a(x,y),则=(x,y);当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)
(2)两个向量平行的充要条件
符号语言:若∥,≠,则=λ
坐标语言为:设=(x1,y1),=(x2,y2),则∥(x1,y1)=λ(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0
在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0;当与异向时,λ<0。
|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
(3)两个向量垂直的充要条件
符号语言:⊥·=0
坐标语言:设=(x1,y1),=(x2,y2),则⊥x1x2y1y2=0
(4)线段定比分点公式
如图,设
则定比分点向量式:
定比分点坐标式:设p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)
则
特例:当λ=1时,就得到中点公式:
,
实际上,对于起点相同,终点共线三个向量,,(o与p1p2不共线),总有=uv,uv=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。共3页，当前第1页123