平面向量教案（通用2篇）

平面向量教案篇1

二、复习要求

1、向量的概念;

2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;

3、向量运算的运用

三、学习指导

1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。

2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下:

运算图形语言符号语言坐标语言

加法与减法

=

-=

记=(x1,y1),=(x1,y2)

则=(x1x2,y1y2)

-=(x2-x1,y2-y1)=

实数与向量

的乘积

=λ

λ∈r记=(x,y)

则λ=(λx,λy)两个向量

的数量积

·=||||

cos<,>

记=(x1,y1),=(x2,y2)

则·=x1x2y1y2

3、运算律

加法:=,()=()

实数与向量的乘积:λ()=λλ;(λμ)=λμ,λ(μ)=

(λμ)

两个向量的数量积:·=·;(λ)·=·(λ)=λ(·),()·=··

说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如(±)2=

4、重要定理、公式

(1)平面向量基本定理;如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1λ2,称λ1λλ2为,的线性组合。

根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为在基底{,}下的坐标,当取{,}为单位正交基底{,}时定义(λ1,λ2)为向量的平面直角坐标。

向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若a(x,y),则=(x,y);当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)

(2)两个向量平行的充要条件

符号语言:若∥,≠,则=λ

坐标语言为:设=(x1,y1),=(x2,y2),则∥(x1,y1)=λ(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0

在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0;当与异向时,λ<0。

|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。

(3)两个向量垂直的充要条件

符号语言:⊥·=0

坐标语言:设=(x1,y1),=(x2,y2),则⊥x1x2y1y2=0

(4)线段定比分点公式

如图,设

则定比分点向量式:

定比分点坐标式:设p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)

则

特例:当λ=1时,就得到中点公式:

,

实际上,对于起点相同,终点共线三个向量,,(o与p1p2不共线),总有=uv,uv=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。

(5)平移公式:

①点平移公式,如果点p(x,y)按=(h,k)平移至p'(x',y'),则

分别称(x,y),(x',y')为旧、新坐标,为平移法则

在点p新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标

②图形平移:设曲线c:y=f(x)按=(h,k)平移,则平移后曲线c'对应的解析式为y-k=f(x-h)

当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移

利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质

(6)正弦定理,余弦定理

正弦定理:

余弦定理:a2=b2c2-2cbcosa

b2=c2a2-2cacosb

c2=a2b2-2abcosc

定理变形:cosa=,cosb=,cosc=

正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。

5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的"程序性"特点。

四、典型例题

例1、如图,,为单位向量,与夹角为1200,与的夹角为450,||=5,用,表示。

分析:

以,为邻边,为对角线构造平行四边形

把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ>0,μ>0

则=λμ

∵||=||=1

∴λ=||,μ=||

△oec中,∠e=600,∠oce=750,由得:

∴

∴

说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理

例2、已知△abc中,a(2,-1),b(3,2),c(-3,-1),bc边上的高为ad,求点d和向量坐标。

分析:

用解方程组思想

设d(x,y),则=(x-2,y1)

∵=(-6,-3),·=0

∴-6(x-2)-3(y1)=0,即2xy-3=0①

∵=(x-3,y-2),∥

∴-6(y-2)=-3(x-3),即x-2y1=0②

由①②得:

∴d(1,1),=(-1,2)

例3、求与向量=,-1)和=(1,)夹角相等,且模为的向量的坐标。

分析:

用解方程组思想

法一:设=(x,y),则·=x-y,·=xy

∵<,>=<,>

∴&nb

∴

即①

又||=

∴x2y2=2②

由①②得或(舍)

∴=

法二:从分析形的特征着手

∵||=||=2

·=0

∴△aob为等腰直角三角形,如图

∵||=,∠aoc=∠boc

∴c为ab中点

∴c()

说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。

例4、在△oab的边oa、ob上分别取点m、n,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段an与bm交于点p,记=,=,用,表示向量。

分析:

∵b、p、m共线

∴记=s

∴①

同理,记

∴=②

∵,不共线

∴由①②得解之得:

∴

说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数(如s,t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。

例5、已知长方形abcd,ab=3,bc=2,e为bc中点,p为ab上一点

(1)利用向量知识判定点p在什么位置时,∠ped=450;

(2)若∠ped=450,求证:p、d、c、e四点共圆。

分析:

利用坐标系可以确定点p位置

如图,建立平面直角坐标系

则c(2,0),d(2,3),e(1,0)

设p(0,y)

∴=(1,3),=(-1,y)

∴

·=3y-1

代入cos450=

解之得(舍),或y=2

∴点p为靠近点a的ab三等分处

(3)当∠ped=450时,由(1)知p(0,2)

∴=(2,1),=(-1,2)

∴·=0

∴∠dpe=900

又∠dce=900

∴d、p、e、c四点共圆

说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。

同步练习

(一)选择题

1、平面内三点a(0,-3),b(3,3),c(x,-1),若∥,则x的值为:

a、-5b、-1c、1d、5

2、平面上a(-2,1),b(1,4),d(4,-3),c点满足,连dc并延长至e,使||=||,则点e坐标为:

a、(-8,)b、()c、(0,1)d、(0,1)或(2,)

2、点(2,-1)沿向量平移到(-2,1),则点(-2,1)沿平移到:

3、a、(2,-1)b、(-2,1)c、(6,-3)d、(-6,3)

4、△abc中,2cosb·sinc=sina,则此三角形是:

a、直角三角形b、等腰三角形c、等边三角形d、以上均有可能

5、设,,是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:

①(·)-(·)=0

②||-||<|-|

③(·)-(·)不与垂直

④(32)·(3-2)=9||2-4|2中,

真命题是:

a、①②b、②③c、③④d、②④

6、△abc中,若a4b4c4=2c2(a2b2),则∠c度数是:

a、600b、450或1350c、1200d、300

7、△oab中,=,=,=,若=,t∈r,则点p在

a、∠aob平分线所在直线上b、线段ab中垂线上

c、ab边所在直线上d、ab边的中线上

8、正方形pqrs对角线交点为m,坐标原点o不在正方形内部,且=(0,3),=(4,0),则=

a、()b、()c、(7,4)d、()

(二)填空题

9、已知{,|是平面上一个基底,若=λ,=-2λ-,若,共线,则λ=__________。

10、已知||=,||=1,·=-9,则与的夹角是________。

11、设,是两个单位向量,它们夹角为600,

则(2-)·(-32)=____________。

12、把函数y=cosx图象沿平移,得到函数___________的图象。

(三)解答题

13、设=(3,1),=(-1,2),⊥,∥,试求满足=的的坐

14、若=(2,-8),-=(-8,16),求、及与夹角θ的余弦值。

15、已知||=,||=3,和夹角为450,求当向量λ与λ夹角为锐角时,λ的取值范围。

参考答案

(一)1、c2、b3、d4、b5、d6、b7、a8、a

(二)9、10、11、12、y=sinx1

(三)13、(11,6)

14、=(-3,4),=(5,-12),

15、λ<,或λ>且λ≠

平面向量教案篇2

1、三角形中的特殊位置(四心)所满足的向量方程:

(1)重心满足的向量方程:;

(2)内心满足的向量方程:或;

(3)外心满足的向量方程:;

(4)垂心满足的向量方程:;(斜三角形中)

2、已知是所在平面上的一点,若,则是的垂心。

3、若为的外心,若为的重心,若h为的垂心,则o,g,h三点共线,且,,若o为坐标原点,则重心和外心的坐标分别为:

,。

4、已知是所在平面上的一点,若,则是的外心。

5、点为三角形的重心的充要条件是对平面上的任意一点,。

6、为方向上与同向的单位向量。

7、设、是直线上两点,点是上不同于、的任意一点,且,则。

特别地,当时,(向量的中点公式)。

8、若、、三点不共线,已知,则、、三点共线的充要条件是。

9、若、不共线,且,则必有。

10、向量平移后与原向量相等,即向量平移后坐标是不变的。

11、若直线的方向向量为,则直线的斜率与该向量的关系为。

12、若、、分别为、、的中点,则。

13、若向量、、满足条件,且,则为正三角形。

14、若为的重心,且,则为正三角形。

15、三角形中一些特殊直线的向量表示:

(1)是的中线;

(2)是的高线;

(3)是的内角平分线;

(4)是的外角平分线。

16、两向量的夹角为锐角不是两向量数量积为正的充要条件,因为要排除夹角为0的情形;

两向量的夹角为钝角也不是两向量数量积为负的充要条件,因为要排除夹角为的情形。

17、设是与的夹角,则称作为在方向上的投影。

。夹角

18、在平行四边形中,若则平行四边形是菱形;

在平行四边形中,若,则平行四边形是矩形;

在平行四边形中,(变形即中线定理)。