函数教案

1、函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:,。
2、若函数既是奇函数又是偶函数,则恒等于零,这样的函数有无数个。
3、如果点是原函数图象上的点,那么点就是其反函数图象上的点。
4、反函数的相关性质:
(1)互为反函数的两个函数具有相同的的单调性,单调区间不一定相同;
(2)定义域上的单调函数必有反函数;(函数单调只能作为存在反函数的充分条件)
只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数。(存在反函数的充要条件)
(3)奇函数的反函数也是奇函数。偶函数不存在反函数(定义域为单元素集的偶函数除外);
(4)周期函数不存在反函数;
(5)若是连续单调递增函数,则"与的图象有公共点""的图象与直线有公共点""方程有解";
(6)若为增函数,则与的图象的交点必在直线上;
(7)函数的图象与函数的图象关于直线对称;
(8)函数与的图象关于直线对称。
5、两个函数相同,当且仅当它们的定义域和对应法则分别相同。
6、对恒成立或其中。
7、二次函数的三种表现形式:
(1)一般式;
(2)顶点式:其中为抛物线顶点坐标;
(3)零点式:其中、为抛物线与轴两个交点的横坐标。
8、不等式中的恒成立问题与不等式的有解问题对比:
(1)在的定义域上恒成立;
(2)在的定义域上恒成立;
(3)在的定义域上有解;
(4)在的定义域上有解。
某些恒成立问题有时通过分离变量(在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个为所求,这时可通过恒等变形将两个变量分置于等号或不等号两边)将恒成立问题转化为函数在给定区间上的最值问题,从而求解。
9、对于函数中的恒成立问题补充两点说明:
(1)若恒成立,则m不一定为的最大值。若恒成立,则m不一定为的最小值;
(2)若恒成立,则为的最大值,若恒成立,则为的最小值。
10、函数的最小值为。
11、重要工具函数的性质:不妨设
(1)时,函数在区间上单调递增;
(2)时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增。
12、关于函数对称性,奇偶性与周期性的关系:
类型之一:线线型周期性
(1)若函数在上的图象关于直线与都对称,则函数是上的周期函数,是它的一个周期。
(2)若函数为偶函数,且图象关于直线对称,则为周期函数,是它的一个周期。
类型之二:点线型周期性
(1)若函数在上的图象关于点和直线都对称,则函数是上的周期函数,是函数在上的一个周期。
(2)若函数为偶函数,且图象关于点成中心对称,则函数为周期函数,是它的一个周期。
(3)若函数为奇函数,且图象关于直线对称,则为周期函数,是它的一个周期。
类型之三:点点型周期性
(1)若函数在上的图象关于相异两点、都对称,则函数是上的周期函数,是它的一个周期。
(2)若函数为奇函数,且图象关于点成中心对称,则函数为周期函数,是它的一个周期。
13、由函数方程推导函数周期的常见类型:
(1)若函数满足,则,则是上的周期函数,且是它的一个周期。
(2)若函数满足,则是上的周期函数,且是它的一个周期。共3页，当前第1页123