集合的概念与运算技巧

【命题趋向】
1.高考试题通过选择题和填空题,以及大题的解集,全面考查集合与简易逻辑的知识,题型新,分值稳定.一般占5---10分.
2.简易逻辑一部分的内容在近两年的高考试题有所出现,应引起注意.
【考点透视】
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.
2.了解空集和全集的意义.
3.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.
4.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈p},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质p;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.
5.注意空集的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如ab,则有a=或a≠两种可能,此时应分类讨论.
【例题解析】
题型1.正确理解和运用集合概念
理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.
例1.已知集合m={y|y=x21,x∈r},n={y|y=x1,x∈r},则m∩n=()
a.(0,1),(1,2)b.{(0,1),(1,2)}c.{y|y=1,或y=2}d.{y|y≥1}
思路启迪:集合m、n是用描述法表示的,元素是实数y而不是实数对(x,y),因此m、n分别表示函数y=x21(x∈r),y=x1(x∈r)的值域,求m∩n即求两函数值域的交集.
解:m={y|y=x21,x∈r}={y|y≥1},n={y|y=x1,x∈r}={y|y∈r}.
∴m∩n={y|y≥1}∩{y|y∈r}={y|y≥1},∴应选d.
点评:①本题求m∩n,经常发生解方程组
从而选b的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上m、n的元素是数而不是点,因此m、n是数集而不是点集.②集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x21}、{y|y=x21,x∈r}、{(x,y)|y=x21,x∈r},这三个集合是不同的.
例2.若p={y|y=x2,x∈r},q={y|y=x21,x∈r},则p∩q等于()
a.pb.qc.d.不知道
思路启迪:类似上题知p集合是y=x2(x∈r)的值域集合,同样q集合是y=x21(x∈r)的值域集合,这样p∩q意义就明确了.
解:事实上,p、q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=x2,y=x21的值域,由p={y|y≥0},q={y|y≥1},知qp,即p∩q=q.∴应选b.
例3.若p={y|y=x2,x∈r},q={(x,y)|y=x2,x∈r},则必有()
a.p∩q=b.pqc.p=qd.pq
思路启迪:有的同学一接触此题马上得到结论p=q,这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈r相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,p集合是函数值域集合,q集合是y=x2,x∈r上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物.
解:正确解法应为:p表示函数y=x2的值域,q表示抛物线y=x2上的点组成的点集,因此p∩q=.∴应选a.
例4(XX年安徽卷文)若,则=()
a.{3}b.{1}c.d.{-1}
思路启迪:
解:应选d.
点评:解此类题应先确定已知集合.
题型2.集合元素的互异性
集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.