和圆有关的比例线段(一)

更新时间：2025-08-12 11:34:15

教学目标：1、使学生理解相交弦定理及其推论；2、初步学会运用相交弦定理及其推论；3、使学生学会作线段的比例中项.4、在推导定理的过程中培养学生由图形总结出几何性质的能力；5、在运用相交弦定理时，使学生清楚是运用几何性质，代数解法解有关弦长计算问题，培养学生的综合运用能力；教学重点：使学生正确理解相交弦定理及其推论，这是以后学习中非常重要的定理.教学难点：在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.而不能死记硬背，也不能只从形式上去认识定理，只知是线段的积，而对内容不加理解.教学过程：一、新课引入：前边，我们已经学习了和圆有关的角，现在我们通过圆内一点引圆的两条弦，它们之间又有什么关系呢？二、新课讲解：实际上，它们之间存在着数量关系.不妨从⊙o内一点p引圆的两条弦ab、cd，我们称它们为相交弦，这时，各弦分别被p点分成二条线段，只要连结ac、db，我们马上发现这四条线段在两个三角形中，容易证得，这两个三角形是相似的，于是得到了这四条线段的比例线段，转化成乘积式后，便得到相交弦定理，教师指导学生观察相交弦定理中的两弦的位置是任意的，当两弦的位置特殊时，会出现怎样的情形呢？请同学打开练习本画一画.学生动手画，教师巡视.

当图7-79三个图形都出现后，教师指出，当p点重合于圆心o时，是两条直径的相交弦，结论是显然的，并且没有因为位置上的变化而发生形式上的变化.我们不研究这种情形，然后指导学生观察图7-79(3)，这种特殊的位置：弦与直径垂直相交，会给相交弦定理带来怎样形式上的改变呢？最终指导学生完成相交弦定理的推论及证明.1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等.2.如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.相交弦定理及其推论是和圆有关的比例线段中的两个数量关系式，在今后学习中有着重要的意义，教师必须严格要求学生独立完成定理的证明，加深对定理的理解.练习一，p.126中1.如图7-80，ap=3cm，pb=5cm，cp=2.5cm，求cd.(答案：8.5cm)

练习二，教材p.126中2，如图7-81，o是圆心，op⊥ab， ap=4cm，pd=2cm.求op.(答案：3cm)

此两题是直接运用定理或推论.p.125例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长.分析，这是一道利用相交弦定理的计算题，由于无图对照，在叙述时务必讲清第几条弦，在由相交弦定理列出方程后，解一元二次方程只作为其中一个步骤.做答案时要特别注意，对x1、x2的解释，以防止最终出现两解.解法参照教材p.126.p126例2 已知：线段a、b求作：线端 c，使c2=ab

分析题目，可将三条线段的数量关系转化为相交弦定理的推论.若线段c作出来，它将与线段a、b在圆中构成弦与直径垂直相交的位置关系.这时学生对作法心中有数，最终教师指导学生完成作图.作法参照教材p.126.共2页，当前第1页12

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