22.2.3 公式法（精选16篇）

22.2.3公式法篇1

教学内容

1.一元二次方程求根公式的推导过程；

2.公式法的概念；

3.利用公式法解一元二次方程.

教学目标

理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程.

复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程.

重难点关键

1.重点：求根公式的推导和公式法的应用.

2.难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）用配方法解下列方程

（1）6x2-7x+1=0  （2）4x2-3x=52

（老师点评） （1）移项，得：6x2-7x=-1

二次项系数化为1，得：x2-x=-

配方，得：x2-x+（）2=-+（）2

（x-）2=

x-=± x1=+==1 

x2=-+==

（2）略

总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）.

（1）移项；

（2）化二次项系数为1；

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；

（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解.

二、探索新知

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.

问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.

解：移项，得：ax2+bx=-c

二次项系数化为1，得x2+x=-

配方，得：x2+x+（）2=-+（）2

即（x+）2=

∵b2-4ac≥0且4a2>0

∴≥0

直接开平方，得：x+=±

即x=

∴x1=，x2=

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根.

（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.

例1.用公式法解下列方程.

（1）2x2-4x-1=0         （2）5x+2=3x2

（3）（x-2）（3x-5）=0  （4）4x2-3x+1=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.

解：（1）a=2，b=-4，c=-1

b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0

x=

∴x1=，x2=

（2）将方程化为一般形式

3x2-5x-2=0

a=3，b=-5，c=-2

b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0

x=

x1=2，x2=-

（3）将方程化为一般形式

3x2-11x+9=0

a=3，b=-11，c=9

b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0

∴x=

∴x1=，x2=

（3）a=4，b=-3，c=1

b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0

因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根.

三、应用拓展

例2.某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题.

（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程.

（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出.

你能解决这个问题吗？

分析：能.（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0.

（2）要使它为一元一次方程，必须满足:①或②或③

解：（1）存在.根据题意，得：m2+1=2

m2=1 m=±1

当m=1时，m+1=1+1=2≠0

当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）

∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0

a=2，b=-1，c=-1

b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9

x=

x1=，x2=-

因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-.

（2）存在.根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0

因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0

所以m=0满足题意.

②当m2+1=0，m不存在.

③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0

所以m=-1也满足题意.

当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，

解得：x=-1

当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0

解得x=-

因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-.

四、归纳小结

本节课应掌握：

（1）求根公式的概念及其推导过程；

（2）公式法的概念；

（3）应用公式法解一元二次方程；

（4）初步了解一元二次方程根的情况.

五、作业

一、选择题

1.用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）.

a.x=    b.x=   c.x=    d.x=

2.方程x2+4x+6=0的根是（ ）.

a.x1=，x2=    b.x1=6，x2=   c.x1=2，x2=    d.x1=x2=-

3.（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）.

a.4    b.-2    c.4或-2    d.-4或2

二、填空题

1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________.

2.当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4.

3.若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____.

三、综合提高题

1.用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0.

2.设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值.

3.某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过a千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过a千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费.

（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定a千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用a表示）

（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况

月份

用电量（千瓦时）

交电费总金额（元）

3

80

25

4

45

10

根据上表数据，求电厂规定的a值为多少？

答案:

   一、1.d 2.d 3.c

二、1.x=，b2-4ac≥0  2.4 3.-3

三、

1.x==a±│b│

2.

（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1=，x2=

∴x1+x2==-，x1·x2=·=

（2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0

原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2

=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）

=0

3.（1）超过部分电费=（90-a）·=-a2+a （2）依题意，得：（80-a）·=15，a1=30（舍去），a2=50

22.2.3公式法篇2

第1教时

教学内容： 12.1 用公式解一元二次方程（一）

教学目标 ：

知识与技能目标：1.使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2.掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项.

过程与方法目标：1.通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2.通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.

情感与态度目标：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识.。

教学重、难点与关键：

重点：一元二次方程的意义及一般形式.

难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”。

教辅工具：

教学程序设计：

程序

教师活动

学生活动

备注

创设

问题

情景

1.用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程.学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力.

2.现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？

教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题.

板书：“第十二章一元二次方程”.教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣.

学生看投影并思考问题

通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中.同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位.

探

究

新

知

1

1.复习提问

（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？

（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？

（3）什么叫做分式方程？

2.引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？

引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念.

整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程.

一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.

3.练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；

（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；

（3）

（4）6x2＝x；

（5）2x2＝5y；

（6）-x2＝0

4.任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式.

一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.ax2称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数.

一般式中的“a≠0”为什么？如果a＝0，则ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解.

5.例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？

教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式.

讨论后回答

学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，

独立完成

加深理解

学生试解

问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫

反馈

训练

应用

提高

练习1：教材P.5中1，2.

练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：.

（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx.

教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化.

要求多数学生在练习本上笔答，部分学生板书，师生评价.题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数.

小结

提高

（四）总结、扩展

引导学生从下面三方面进行小结.从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？

1.将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法.

2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项.归纳所学过的整式方程.

3.一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的区别和联系.强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义.

学生讨论回答

布置

作业 

1.教材P.6练习2.

2.思考题：

1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x2项的方程叫做一元二次方程？”

2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式（学有余力的学生思考）.

反

思

22.2.3公式法篇3

教学设计示例

――完全平方公式(1)

教学目标

1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；

2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.

3.进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力.

4.通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。

教学重点和难点

重点：运用完全平方式分解因式.

难点：灵活运用完全平方公式公解因式.

教学过程设计

一、复习

1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?

答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.

2.把下列各式分解因式：

(1)ax4－ax2            (2)16m4－n4.

解(1)ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)

(2)16m4－n4=(4m2)2－(n2)2

=(4m2+n2)(4m2－n2)

=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).

问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

答：有完全平方公式.

请写出完全平方公式.

完全平方公式是：

(a+b)2=a2+2ab+b2,  (a－b)2=a2－2ab+b2.

这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.

二、新课

和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到

a2+2ab+b2=(a+b)2；   a2－2ab+b2=(a－b)2.

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.

问：具备什么特征的多项是完全平方式?

答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.

问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?

(1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；

(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1.

答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以

x2+6x+9=(x+3).

(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.

(3)是完全平方式.25x=(5x)，1=1，10x=2·5x·1，所以

25x－10x+1=(5x－1).

(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.

请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?

答：完全平方公式为：

其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

例1 把25x4+10x2+1分解因式.

分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍.所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.

解25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.

例2把1－m+分解因式.

问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?

答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“”是的平方，第二项“－m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

解法11－m+=1－2·1·+（）2=（1－）2.

解法2先提出，则

1－m+=(16－8m+m2)

= (42－2·4·m+m2)

=(4－m)2.

三、课堂练习(投影)

1.填空：

(1)x2－10x+（）2=（）2；

(2)9x2+（）+4y2=（）2；

(3)1－（）+m2/9=（）2.

2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多

项式改变为完全平方式.

(1)x2－2x+4；(2)9x2+4x+1；(3)a2－4ab+4b2；

(4)9m2+12m+4；(5)1－a+a2/4.

3.把下列各式分解因式：

(1)a2－24a+144；(2)4a2b2+4ab+1；

(3)19x2+2xy+9y2；(4)14a2－ab+b2.

答案：

1.(1)25，(x－5)2；(2)12xy，(3x+2y)2；(3)2m/3，（1－m3）2.

2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式.

(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式.

(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.

(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2)2.

(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.

3.(1)(a－12)2；(2)(2ab+1)2；

(3)(13x+3y)2；(4)（12a－b）2.

四、小结

运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：

1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.

2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；如果是负号，则用公式a2－2ab+b2=(a－b)2.

五、作业 

把下列各式分解因式：

1.(1)a2+8a+16；(2)1－4t+4t2；

(3)m2－14m+49；(4)y2+y+1/4.

2.(1)25m2－80m+64；(2)4a2+36a+81；

(3)4p2－20pq+25q2；(4)16－8xy+x2y2；

(5)a2b2－4ab+4；       (6)25a4－40a2b2+16b4.

3.(1)m2n－2mn+1；(2)7am+1－14am+7am－1；

4.(1)x－4x；(2)a5+a4+a3.

答案：

1.(1)(a+4)2；(2)(1－2t)2；

(3)(m－7)2；(4)（y+12）2.

2.(1)(5m－8)2；(2)(2a+9)2；

(3)(2p－5q)2；(4)(4－xy)2；

(5)(ab－2)2；(6)(5a2－4b2)2.

3.(1)(mn－1)2；(2)7am－1(a－1)2.

4.(1)x(x+4)(x－4)；(2)14a3(2a+1)2.

课堂教学设计说明

1.利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质.

2.本节课要求学生掌握完全平方公式的特点和灵活运用公式把多项式进行因式分解的方法.在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，让学生从不同侧面理解完全平方公式的特点.例1和例2的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用平方公式进行完全因式分解的方法.

22.2.3公式法篇4

一、教学目标 

1.使学生理解二次三项式的意义；知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的关系；

2.使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式；

3.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力；

4.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步向学生渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般；

5.通过利用一元二次方程根的知识来分解因式，渗透知识间是普遍联系的数学美。

二、重点·难点·疑点及解决办法

1.教学重点：用公式法将二次三项式因式分解。

2.教学难点 ：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系。

3.教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。

4.解决办法：二次三项式能分解因式

二次三项式不能分解

二次三项式分解成完全平方式

三、教学步骤 

（一）教学过程 

1.复习提问

（1）写出关于x的二次三项式？

（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解。

①；②；③。

由③感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题。

2.新知讲解

（1）引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系。

①；

解：原式变形为。

∴ ，

②；

解原方程可变为

观察以上各例，可以看出1，2是方程的两个根，而，……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式。

（2）推导出公式

设方程的两个根为，那么，

∴ 

这就是说，在分解二次三项式的因式时，可先用公式求出方程的两个根，然后写成

教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊。

（3）公式的应用

例1 把分解因式

解： ∵ 方程的根是

教师板书，学生回答。

由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的，目的是化简①。

练习：将下列各式在实数范围因式分解。

（1）；（2）

学生板书、笔答，评价。

例2 用两种方程把分解因式。

方法一，解： 

方法二，解： ，

方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法。

练习：将下列各式因式分解。

学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：

（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程，可变形为；但将二次三项式分解因式时，就不能将变形为。

例如用求根公式求得的两个根是后，得出这就错了，这是因为丢掉了系数2。

（2）还要注意符号方面的错误，比如下面的例子如果写成也是错误的。

（3）一元二次方程当时，方程有两个实根。当时，方程无实根。这就决定了：当时，二次三项式在实数范围内可以分解；当时，二次三项式在实数范围内不可以分解。

（二）总结、扩展

1.用公式法将二次三项式因式分解的步骤是先求出方程的两个根，再将写成形式。

2.二次三项式因式分解的条件是：当，二次三项式在实数范围内可以分解；时，二次三项式在实数范围内不可以分解。

3.通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律。

四、布置作业 

教材P38A1，2。

五、板书设计 

22.2.3公式法篇5

题

§2.3用公式法求解一元二次方程

学习目标

1.我要会一元二次方程的求根公式的推导

2.我要会用求根公式解一元二次方程

学习重点

我要掌握用公式法解简单系数的一元二次方程

学习难点

我要理解求根公式的推导及条件：b新北师大版<wbr>九年级上册数学<wbr>2.3用公式法求解一元二次方程<wbr>导学案-4ac新北师大版<wbr>九年级上册数学<wbr>2.3用公式法求解一元二次方程<wbr>导学案0

学习方法

自主 合作  交流探究

环节一

自主学习

一.自主学习（精读课本完成导学案）

1、一元二次方程的一般形式是 ___________________.

(1)方程2x新北师大版<wbr>九年级上册数学<wbr>2.3用公式法求解一元二次方程<wbr>导学案-3x+1=0中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）

(2)方程(2x-1)新北师大版<wbr>九年级上册数学<wbr>2.3用公式法求解一元二次方程<wbr>导学案=-4中，a=（ ）,b=（  ）,c=（ ）.

2、用配方法解方程：x2―7x―18=0

环节二

交流展示

1、推导求根公式：ax2+bx+c=0 (a≠0)

解：方程两边都作以a，得 ___________________.

移项，得：  ________________________

配方，得：______________________

即：___________________

∵a≠0，所以4a2>0

当b2－4ac≥0时，得_________________________________

∴x=_______________________

精讲点拨：

利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.

2、一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

当b2－4ac＞0时，它的根是x=_______________________，

一元二次方程有两个_____的实数根                            ；

当b2－4ac=0时，它的根是x=_____________________，

一元二次方程有两个______的实数根                           ；

当b2－4ac<0时，一元二次方程                           .

3、利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

利用公式法求根的一般步骤：

(1）)将方程化为_____________，确定_____________的值

（2）把a,b,c的值直接代入公式____________，求得方程的解x1,x2

环节三

能力提升

1、k取何值时，关于新北师大版<wbr>九年级上册数学<wbr>2.3用公式法求解一元二次方程<wbr>导学案的一元二次方程新北师大版<wbr>九年级上册数学<wbr>2.3用公式法求解一元二次方程<wbr>导学案，（1）有两个不相等的实数根？

（2）有两个相等的实数根？

（3）没有实数根？

环节四

达标检测

利用求根公式解方程：

（1）6y2+13y+6=0                 （2）2x2+7x=4

22.2.3公式法篇6

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上课班级：江苏省如东县景安初中初二（6）班邮编：226441

上课教师：唐国栋e－mail：

设计思路：

教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。

教学过程 ：

师生问好，组织上课。

师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？

生1：（答略）

师：你能用符号语言来表示这个公式吗？

生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2

师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？

生齐答：两个。

师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？

a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2

生2：（答略）

师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？

生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。

师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4）

问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？

○3、○4两个式子由左往右是什么变形？

生3：（答略）

师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：

a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书）

问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？

生齐答：因式分解。

师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。

这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题）

师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。

（经过讨论之后）

生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。

生5：左边有两项能够写成平方和的形式。

师：说得很好，其他同学有没有补充的？

生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。

师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？

生6：不是，而是刚才两项的底数。

师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。

生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。

教师在学生回答的基础上总结：

1)多项式是三项式

2)有两项都为正且能够写成平方的形式

3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负

4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。

师：我们如何将符号语言转化为文字语言呢？

生8：a、b两个数的平方和加上a、b乘积的2倍，等于a与b的和的平方；

a、b两个数的平方和减去a、b乘积的2倍，等于a与b的差的平方。

师：如果不用字母a、b，又怎么表达？能否将两句合并成一句呢？

生9：两个数的平方和加上或减去这两个数的乘积的2倍，等于这两个数的和或差的平方。

师：非常好！我们以后只要遇到这种类型的多项式可以直接利用完全平方公式方便地进行因式分解了。

通过刚才的学习，我们已经初步掌握了利用完全平方公式分解因式的有关知识，下面有几道练习题向我们同学提出了挑战，看你掌握知识的情况：

判断下列各式是不是完全平方式，并说出理由。

（1）a2－4a＋4(2)x2＋4x＋4y2(3)4a2＋2ab＋b2

(4)a2－ab＋b2(5)x2－6x－9(6)a2＋a＋0.25

生10：第一题是完全平方式。有三项，其中有两项正且能写成平方的形式，另一项是减去这两个数的积的2倍。

…………

生11：第四题不是完全平方式，因为中间一项不是两个数的乘积的2倍。

生12：第五题是完全平方式。三项，有两项能写成平方的形式，另一项也是两个数的积的2倍。

师：其它同学同意他的意见吗？有没有补充的？

生13：这一题不是完全平方式，虽然有两部分能写成平方的形式，但这两项不是平方和。

师：同意他的意见吗？

生齐答：同意。

师：因此我们在观察一个多项式是否符合完全平方式的特点时，不仅要找有没有两项能够写成平方的形式，同时还要看这两项的符号是否同为正，更要看另一项是不是这两数的积的2倍。像刚才的第2题和第4题都只满足特征中的一部分。

引例讲解：将下列各式分解因式。

1、x2＋6x＋92、4x2－20x＋25

问题：这两题首先怎么分析？

生14：将9改写成32，6x正好是x与3的乘积的2倍。（学生回答，教师板书）

生15：将4x2写成（2x）2，25写成52，20x写成2×2x×5

x2＋6x＋9=x2＋2×3＋32=(x＋3)2

4x2－20x＋25=(2x)2－2×2x×5＋52=(2x－5)2

（联系字母表达式用箭头对应表示，加深学生印象。）

师：由刚才的例子，我们同学能否发现将因式分解为两数的和或差的平方，如何确定是两数的和还是两数的差的平方呢？

生16：由符号来决定。

师：能不能具体点。

生16：由中间一项的符号决定，就是两个数乘积2倍这项的符号决定，是正，就是两个数的和；是负，就是两个数的差。

师：总之，在分解完全平方式时，要根据第二项的符号来选择运用哪一个完全平方公式。

例题1：把25x4＋10x2＋1分解因式。

师：这道题目能否运用以前所学的方法分解？就题目本身有什么特点？可以怎么分解？

生17：题目符合完全平方式的特点，可以将25x4改写成（5x2）2，1就是12，10x2改写成2×5x2×1。（此学生板演，过程略）

例题2：把－x2－4y2＋4xy分解因式。

师：按照常规我们首先怎么办？

生齐答：提取负号。〔教师板书：－（x2＋4y2－4xy）〕以下过程学生板演。

师：如果是这道题：4xy－x2－4y2怎么分解呢？（教师改变刚才题型）

提示：从项的特征进行考虑，怎样转化比较合理？四人小组讨论。

生18：同样还是将负号提取改变成完全平方式的形式。

师：从这里我们可以发现，只要三项式中能改写成平方的两项是同号，且另一项为两底数积的2倍，我们都能利用这个公式分解，若这两项同为正则可直接分解，若同为负则先提取负号再分解。

练习题：课本p21练习：第1题，学生板演，教师讲解，学生板演的同时，教师提示注意点、多项式的特征；第2题，学生口答。

例题3：把3ax2＋6axy＋3ay2分解因式。

师：先观察，再选择适当的方法。（学生板演，教师点评）

练习：课本p22第3题分两组学生板演，教师评讲、适当提示注意点。

师：这一堂课我们一起研究了完全平方式的有关知识，同学们先自查一下自己的收获，然后请同学发表自己的见解。（学生小声讨论）

生甲：我学到了如何将完全平方式分解因式，遇到三项式中有两项符号相同且能化成平方的形式，另一项为这两个数的积的2倍的形式，如果能化成平方项是负的，首先将负号提取再分解。第二项是正的就是两数的和的平方，第二项是负的就是两数差的平方。

生乙：有公因式可提取的先提取公因式，然后再分解，同时根据第二项的符号来选用合适的公式。

教师布置课堂作业 ：课本p23习题8.2a组4～5偶数题

课外作业 ：课本p23习题8.2a组4～5奇数题

下课！

数学 - 初二数学利用公式法（完全平方公式）因式分解课堂实录

22.2.3公式法篇7

教学设计示例

――完全平方公式(1)

教学目标 

1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；

2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.

3.进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力.

4.通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。

教学重点和难点

重点：运用完全平方式分解因式.

难点：灵活运用完全平方公式公解因式.

教学过程 设计

一、复习

1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?

答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.

2.把下列各式分解因式：

(1)ax4－ax2            (2)16m4－n4.

解(1)ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)

(2)16m4－n4=(4m2)2－(n2)2

=(4m2+n2)(4m2－n2)

=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).

问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

答：有完全平方公式.

请写出完全平方公式.

完全平方公式是：

(a+b)2=a2+2ab+b2,  (a－b)2=a2－2ab+b2.

这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.

二、新课

和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到

a2+2ab+b2=(a+b)2；   a2－2ab+b2=(a－b)2.

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.

问：具备什么特征的多项是完全平方式?

答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.

问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?

(1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；

(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1.

答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以

x2+6x+9=(x+3).

(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.

(3)是完全平方式.25x=(5x)，1=1，10x=2·5x·1，所以

25x－10x+1=(5x－1).

(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.

请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?

答：完全平方公式为：

其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

例1 把25x4+10x2+1分解因式.

分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍.所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.

解25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.

例2把1－m+分解因式.

问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?

答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“”是的平方，第二项“－m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

解法11－m+=1－2·1·+（）2=（1－）2.

解法2先提出，则

1－m+=(16－8m+m2)

= (42－2·4·m+m2)

=(4－m)2.

三、课堂练习(投影)

1.填空：

(1)x2－10x+（）2=（）2；

(2)9x2+（）+4y2=（）2；

(3)1－（）+m2/9=（）2.

2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多

项式改变为完全平方式.

(1)x2－2x+4；(2)9x2+4x+1；(3)a2－4ab+4b2；

(4)9m2+12m+4；(5)1－a+a2/4.

3.把下列各式分解因式：

(1)a2－24a+144；(2)4a2b2+4ab+1；

(3)19x2+2xy+9y2；(4)14a2－ab+b2.

答案：

1.(1)25，(x－5)2；(2)12xy，(3x+2y)2；(3)2m/3，（1－m3）2.

2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式.

(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式.

(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.

(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2)2.

(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.

3.(1)(a－12)2；(2)(2ab+1)2；

(3)(13x+3y)2；(4)（12a－b）2.

四、小结

运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：

1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.

2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；如果是负号，则用公式a2－2ab+b2=(a－b)2.

五、作业 

把下列各式分解因式：

1.(1)a2+8a+16；(2)1－4t+4t2；

(3)m2－14m+49；(4)y2+y+1/4.

2.(1)25m2－80m+64；(2)4a2+36a+81；

(3)4p2－20pq+25q2；(4)16－8xy+x2y2；

(5)a2b2－4ab+4；       (6)25a4－40a2b2+16b4.

3.(1)m2n－2mn+1；(2)7am+1－14am+7am－1；

4.(1)x－4x；(2)a5+a4+a3.

答案：

1.(1)(a+4)2；(2)(1－2t)2；

(3)(m－7)2；(4)（y+12）2.

2.(1)(5m－8)2；(2)(2a+9)2；

(3)(2p－5q)2；(4)(4－xy)2；

(5)(ab－2)2；(6)(5a2－4b2)2.

3.(1)(mn－1)2；(2)7am－1(a－1)2.

4.(1)x(x+4)(x－4)；(2)14a3(2a+1)2.

课堂教学设计说明

1.利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质.

2.本节课要求学生掌握完全平方公式的特点和灵活运用公式把多项式进行因式分解的方法.在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，让学生从不同侧面理解完全平方公式的特点.例1和例2的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用平方公式进行完全因式分解的方法.

22.2.3公式法篇8

和完全平方公式500)this.style.width=500;"onmousewheel="returnbbimg(this)">来分解因式的方法。它是分解因式最基本的方法之一，现将几种常见思路归纳如下，供同学们学习参考。

一.直接用公式

例1（1）（2002江苏盐城中考试题）分解因式：500)this.style.width=500;"onmousewheel="returnbbimg(this)">；

（2）（2003南通中考试题）分解因式：500)this.style.width=500;"onmousewheel="returnbbimg(this)">。

分析：（1）此题是两项式，符合平方差公式的条件。从而500)this.style.width=500;"onmousewheel="returnbbimg(this)">；

（2）此题是三项式，符合完全平方公式的条件。从而500)this.style.width=500;"onmousewheel="returnbbimg(this)">。

二.提公因式后用公式

例2（2003长沙中考试题）分解因式:500)this.style.width=500;"onmousewheel="returnbbimg(this)">.

分析：先提取公因式a，再运用公式。所以500)this.style.width=500;"onmousewheel="returnbbimg(this)">。

三.化简后用公式

例3分解因式：500)this.style.width=500;"onmousewheel="returnbbimg(this)">。

分析：先化简后再运用公式。所以

500)this.style.width=500;"onmousewheel="returnbbimg(this)">。

22.2.3公式法篇9

教学设计示例

――完全平方公式(1)

教学目标 

1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；

2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.

3.进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力.

4.通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。

教学重点和难点

重点：运用完全平方式分解因式.

难点：灵活运用完全平方公式公解因式.

教学过程 设计

一、复习

1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?

答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.

2.把下列各式分解因式：

(1)ax4－ax2            (2)16m4－n4.

解(1)ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)

(2)16m4－n4=(4m2)2－(n2)2

=(4m2+n2)(4m2－n2)

=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).

问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

答：有完全平方公式.

请写出完全平方公式.

完全平方公式是：

(a+b)2=a2+2ab+b2,  (a－b)2=a2－2ab+b2.

这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.

二、新课

和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到

a2+2ab+b2=(a+b)2；   a2－2ab+b2=(a－b)2.

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.

问：具备什么特征的多项是完全平方式?

答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.

问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?

(1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；

(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1.

答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以

x2+6x+9=(x+3).

(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.

(3)是完全平方式.25x=(5x)，1=1，10x=2·5x·1，所以

25x－10x+1=(5x－1).

(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.

请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?

答：完全平方公式为：

其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

例1 把25x4+10x2+1分解因式.

分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍.所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.

解25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.

例2把1－m+分解因式.

问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?

答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“”是的平方，第二项“－m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

解法11－m+=1－2·1·+（）2=（1－）2.

解法2先提出，则

1－m+=(16－8m+m2)

= (42－2·4·m+m2)

=(4－m)2.

三、课堂练习(投影)

1.填空：

(1)x2－10x+（）2=（）2；

(2)9x2+（）+4y2=（）2；

(3)1－（）+m2/9=（）2.

2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多

项式改变为完全平方式.

(1)x2－2x+4；(2)9x2+4x+1；(3)a2－4ab+4b2；

(4)9m2+12m+4；(5)1－a+a2/4.

3.把下列各式分解因式：

(1)a2－24a+144；(2)4a2b2+4ab+1；

(3)19x2+2xy+9y2；(4)14a2－ab+b2.

答案：

1.(1)25，(x－5)2；(2)12xy，(3x+2y)2；(3)2m/3，（1－m3）2.

2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式.

(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式.

(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.

(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2)2.

(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.

3.(1)(a－12)2；(2)(2ab+1)2；

(3)(13x+3y)2；(4)（12a－b）2.

四、小结

运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：

1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.

2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；如果是负号，则用公式a2－2ab+b2=(a－b)2.

五、作业 

把下列各式分解因式：

1.(1)a2+8a+16；(2)1－4t+4t2；

(3)m2－14m+49；(4)y2+y+1/4.

2.(1)25m2－80m+64；(2)4a2+36a+81；

(3)4p2－20pq+25q2；(4)16－8xy+x2y2；

(5)a2b2－4ab+4；       (6)25a4－40a2b2+16b4.

3.(1)m2n－2mn+1；(2)7am+1－14am+7am－1；

4.(1)x－4x；(2)a5+a4+a3.

答案：

1.(1)(a+4)2；(2)(1－2t)2；

(3)(m－7)2；(4)（y+12）2.

2.(1)(5m－8)2；(2)(2a+9)2；

(3)(2p－5q)2；(4)(4－xy)2；

(5)(ab－2)2；(6)(5a2－4b2)2.

3.(1)(mn－1)2；(2)7am－1(a－1)2.

4.(1)x(x+4)(x－4)；(2)14a3(2a+1)2.

课堂教学设计说明

1.利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质.

2.本节课要求学生掌握完全平方公式的特点和灵活运用公式把多项式进行因式分解的方法.在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，让学生从不同侧面理解完全平方公式的特点.例1和例2的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用平方公式进行完全因式分解的方法.

22.2.3公式法篇10

教学设计示例

――完全平方公式(1)

教学目标

1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；

2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.

3.进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力.

4.通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。

教学重点和难点

重点：运用完全平方式分解因式.

难点：灵活运用完全平方公式公解因式.

教学过程设计

一、复习

1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?

答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.

2.把下列各式分解因式：

(1)ax4－ax2            (2)16m4－n4.

解(1)ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)

(2)16m4－n4=(4m2)2－(n2)2

=(4m2+n2)(4m2－n2)

=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).

问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

答：有完全平方公式.

请写出完全平方公式.

完全平方公式是：

(a+b)2=a2+2ab+b2,  (a－b)2=a2－2ab+b2.

这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.

二、新课

和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到

a2+2ab+b2=(a+b)2；   a2－2ab+b2=(a－b)2.

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.

问：具备什么特征的多项是完全平方式?

答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.

问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?

(1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；

(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1.

答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以

x2+6x+9=(x+3).

(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.

(3)是完全平方式.25x=(5x)，1=1，10x=2·5x·1，所以

25x－10x+1=(5x－1).

(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.

请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?

答：完全平方公式为：

其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

例1 把25x4+10x2+1分解因式.

分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍.所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.

解25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.

例2把1－m+分解因式.

问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?

答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“”是的平方，第二项“－m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

解法11－m+=1－2·1·+（）2=（1－）2.

解法2先提出，则

1－m+=(16－8m+m2)

= (42－2·4·m+m2)

=(4－m)2.

第12页 

22.2.3公式法篇11

一、教学目标 

1.使学生理解二次三项式的意义；知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的关系；

2.使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式；

3.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力；

4.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步向学生渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般；

5.通过利用一元二次方程根的知识来分解因式，渗透知识间是普遍联系的数学美。

二、重点·难点·疑点及解决办法

1.教学重点：用公式法将二次三项式因式分解。

2.教学难点 ：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系。

3.教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。

4.解决办法：二次三项式能分解因式

二次三项式不能分解

二次三项式分解成完全平方式

三、教学步骤 

（一）教学过程 

1.复习提问

（1）写出关于x的二次三项式？

（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解。

①；②；③。

由③感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题。

2.新知讲解

（1）引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系。

①；

解：原式变形为。

∴ ，

②；

解原方程可变为

观察以上各例，可以看出1，2是方程的两个根，而，……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式。

（2）推导出公式

设方程的两个根为，那么，

∴ 

这就是说，在分解二次三项式的因式时，可先用公式求出方程的两个根，然后写成

教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊。

（3）公式的应用

例1 把分解因式

解： ∵ 方程的根是

教师板书，学生回答。

由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的，目的是化简①。

练习：将下列各式在实数范围因式分解。

（1）；（2）

学生板书、笔答，评价。

例2 用两种方程把分解因式。

方法一，解： 

方法二，解： ，

方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法。

练习：将下列各式因式分解。

学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：

（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程，可变形为；但将二次三项式分解因式时，就不能将变形为。

例如用求根公式求得的两个根是后，得出这就错了，这是因为丢掉了系数2。

（2）还要注意符号方面的错误，比如下面的例子如果写成也是错误的。

（3）一元二次方程当时，方程有两个实根。当时，方程无实根。这就决定了：当时，二次三项式在实数范围内可以分解；当时，二次三项式在实数范围内不可以分解。

（二）总结、扩展

1.用公式法将二次三项式因式分解的步骤是先求出方程的两个根，再将写成形式。

2.二次三项式因式分解的条件是：当，二次三项式在实数范围内可以分解；时，二次三项式在实数范围内不可以分解。

3.通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律。

四、布置作业 

教材P38A1，2。

五、板书设计 

22.2.3公式法篇12

一、说教材

1、教材的地位与作用

《一元二次方程》是人教版《义务教育新课程标准实验教科书，数学·九年级（上册）》第22章第1节的内容，共两课时。本节是第一课时，是一元二次方程的导入课，主要内容是介绍一元二次方程的概念和一般形式，它为进一步学习一元二次方程解法及应用起到了铺垫作用。

一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以对已学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习二次函数等知识的基础。此外，学习一元二次方程对其它学科也有十分重要的作用。

2、教学目标

根据本节课的地位、作用及其内容，结合学生实际和学生认知发展水平，确定如下教学目标：

[知识目标]理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。

[能力目标]经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界的有效数学模型，增强学生分折问题和解决问题的能力及应用数学的意识；通过概念教学，培养学生的观察类比、归纳能力。

[情感目标]在探索活动中，培养学生合作交流的意识，体验成功喜悦，增强自信心。

3、教学重点与难点

从以上分析可以看出：

重点：一元