不等式的性质（精选12篇）

不等式的性质篇1

教学目标 

1.理解不等式的性质，掌握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系，并掌握它们的证明方法以及功能、运用；

2.掌握两个实数比较大小的一般方法；

3.通过不等式性质证明的学习，提高学生逻辑推论的能力；

4.提高本节内容的学习，；培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度；

教学建议

1.教材分析

（1）知识结构

本节首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明。

知识结构图

（2）重点、难点分析

在“不等式的性质”一节中，联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法，复习了初中学过的不等式的基本性质。

不等式的性质是穿越本章内容的一条主线，无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用，不等式的证明和解一些简单的不等式，无不以不等式的性质作为基础。

本节的重点是比较两个实数的大小，不等式的五个定理和三个推论；难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。

①比较实数的大小

教材运用数形结合的观点，从实数与数轴上的点一一对应出发，与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。

指出比较两实数大小的方法是求差比较法：

比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则.

比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.

②理清不等式的几个性质的关系

教材中的不等式共5个定理3个推论，是从证明过程安排顺序的.从这几个性质的分类来说，可以分为三类：

（Ⅰ）不等式的理论性质：（对称性）

（传递性）

（Ⅱ）一个不等式的性质：

(n∈N，n＞1)

(n∈N，n＞1)

（Ⅲ）两个不等式的性质：

2.教法建议

本节课的核心是培养学生的变形技能，训练学生的推理能力.为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础.

授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式.通过问答形式不断地给学生设置疑问（即：设疑）；对教学难点 ，再由讲授形式解决疑问.（即：解疑）.主要思路是：教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑.

教学过程 可分为：发现定理、定理证明、定理应用，采用由形象思维到抽象思维的过渡，发现定理、证明定理.采用类比联想，变形转化，应用定理或应用定理的证明思路；解决一些较简单的证明题.

第一课时

教学目标 

1.掌握实数的运算性质与大小顺序间关系；

2.掌握求差法比较两实数或代数式大小；

3.强调数形结合思想.

教学重点

比较两实数大小

教学难点  

理解实数运算的符号法则

教学方法

启发式

教学过程 

一、复习回顾

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如，在右图中，点A表示实数，点B表示实数,点A在点B右边，那么.

我们再看右图，表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地：

若，则是正数；逆命题也正确.

类似地，若，则是负数；若，则.它们的逆命题都正确.

这就是说：（打出幻灯片1）

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容.

二、讲授新课

1. 比较两实数大小的方法——求差比较法

比较两个实数与的大小，归结为判断它们的差的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则.

比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.

接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.

2. 例题讲解

例1 比较与的大小.

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.

解：

∴

例2 已知,比较（与的大小.

分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.

由得，从而

请同学们想一想，在例2中，如果没有这个条件，那么比较的结果如何？

（学生回答：若没有这一条件，则，从而大于或等于）

为了使大家进一步掌握求差比较法，我们来进行下面的练习.

三、课堂练习

1.比较的大小.

2.如果，比较的大小.

3.已知,比较与的大小.

要求：学生板演练习，老师讲评，并强调学生注意加限制条件的题目.

课堂小结

通过本节学习，大家要明确实数运算的符号法则，掌握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.

课后作业 

习题6.1 1，2，3.

板书设计 

§6.1.1 不等式的性质

1.求差比较法  例1  学生

…… 

例2   板演

…… 

不等式的性质篇2

第二课时

教学目标

1.理解同向不等式,异向不等式概念;

2.把握并会证实定理1,2,3;

3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据,定理3是移项法则的依据;

4.初步理解证实不等式的逻辑推理方法.

教学重点:定理1,2,3的证实的证实思路和推导过程

教学难点:理解证实不等式的逻辑推理方法

教学方法:引导式

教学过程

一、复习回顾

上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此,我们来作一下回顾:

这一节课,我们将利用比较实数的方法,来推证不等式的性质.

二、讲授新课

在证实不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.

1.同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如:是同向不等式.

异向不等式:两个不等号方向相反的不等式.例如:是异向不等式.

2.不等式的性质:

定理1:若,则

定理1说明,把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向.在证实时,既要证实充分性,也要证实必要性.

证实:∵,

∴

由正数的相反数是负数,得

说明:定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证,注重向学生强调实数运算的符号法则的应用.

定理2:若,且,则.

证实:∵

∴

根据两个正数的和仍是正数,得

∴说明:此定理证实的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.

定理3:若,则

定理3说明,不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向.

证实:∵

∴

说明:(1)定理3的证实相当于比较与的大小,采用的是求差比较法;

(2)不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边,理由是:根据定理3可得出:若,则即.

定理3推论:若.

证实:∵,

∴①

∵

∴②

由①、②得

说明:(1)推论的证实连续两次运用定理3然后由定理2证出;

(2)这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即:两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;

(3)两个同向不等式的两边分别相减时,就不能作出一般的结论;

(4)定理3的逆命题也成立.(可让学生自证)

三、课堂练习

1.证实定理1后半部分;

2.证实定理3的逆定理.

说明:本节主要目的是把握定理1,2,3的证实思路与推证过程,练习穿插在定理的证实过程中进行.

课堂小结

通过本节学习,要求大家熟悉定理1,2,3的证实思路,并把握其推导过程,初步理解证实不等式的逻辑推理方法.

课后作业

1.求证:若

2.证实:若

板书设计

§6.1.2不等式的性质

1.同向不等式3.定理24.定理35.定理3

异向不等式证实证实推论

2.定理1证实说明说明证实

第三课时

教学目标

1.熟练把握定理1,2,3的应用;

2.把握并会证实定理4及其推论1,2;

3.把握反证法证实定理5.

教学重点:定理4,5的证实.

教学难点:定理4的应用.

教学方法:引导式

教学过程:

一、复习回顾

上一节课,我们一起学习了不等式的三个性质,即定理1,2,3,并初步熟悉了证实不等式的逻辑推理方法,首先,让我们往返顾一下三个定理的基本内容.

(学生回答)

好,我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论,并进一步熟悉不等式性质的应用.

二、讲授新课

定理4:若

若

证实:

根据同号相乘得正,异号相乘得负,得

当

说明:(1)证实过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正,异号相乘得负”来完成的;

(2)定理4证实在一个不等式两端乘以同一个正数,不等号方向不变;乘以同一个负数,不等号方向改变.

推论1:若

证实:

①

又

∴②

由①、②可得.

说明:(1)上述证实是两次运用定理4,再用定理2证出的;

(2)所有的字母都表示正数,假如仅有,就推不出的结论.

(3)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.

推论2:若

说明:(1)推论2是推论1的非凡情形;

(2)应强调学生注重n∈n的条件.

定理5:若

我们用反证法来证实定理5,因为反面有两种情形,即,所以不能仅仅否定了,就“归谬”了事,而必须进行“穷举”.

说明:假定不大于,这有两种情况:或者,或者.

由推论2和定理1,当时,有;

当时,显然有

这些都同已知条件矛盾

所以.

接下来,我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.

例2已知

证实:由

例3已知

证实:∵

两边同乘以正数

说明:通过例3,例4的学习,使学生初步接触不等式的证实,为以后学习不等式的证实打下基础.在应用定理4时,应注重题目条件,即在一个等式两端乘以同一个数时,其正负将影响结论.接下来,我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.

三、课堂练习

课本p7练习1,2,3.

课堂小结

通过本节学习,大家要把握不等式性质的应用及反证法证实思路,为以后不等式的证实打下一定的基础.

课后作业

课本习题6.14,5.

板书设计

§6.1.3不等式的性质

定理4推论1定理5例3学生

内容内容

证实推论2证实例4练习

探究活动

能得到什么结论

题目已知且,你能够推出什么结论?

分析与解:由条件推出结论,我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大,对已知变量作运算,运用不等式的性质,或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。

思路一:改变的范围,可得:

1.且;

2.且;

思路二:由已知变量作运算,可得:

3.且;

4.且;

5.且;

6.且;

7.且;

思路三:考虑含有的数学表达式具有的性质,可得:

8.(其中为实常数)是三次方程;

9.(其中为常数)的图象不可能表示直线。

说明从已知信息能够推出什么结论?这是我们经常需要思考的问题,这里给出的都是必要非充分条件,读者可以考虑是否能够写出充要条件;另外,运用推出关系的传递性,在推出结论的基础上进一步进行推理,还可得出很多结果,请读者考虑.

探究关系式是否成立的问题

题目当成立时,关系式是否成立?若成立,加以证实;若不成立,说明理由。

解:因为,所以,所以,

所以,

所以或

所以或

所以或

所以不可能成立。

说明:像本例这样的探索题,题目的结论是“两可”(即两种可能性)情形,而我们知道,说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析,不仅说明结论不成立,而且得出,必须同时大于1或同时小于1的结论。

探讨增加什么条件使命题成立

例适当增加条件,使下列命题各命题成立:

(1)若,则;

(2)若,则;

(3)若,,则;

(4)若,则

思路分析:本例为条件型开放题,需要依据不等式的性质,寻找使结论成立时所缺少的一个条件。

解:(1)

(2)。当时,

当时,

(3)

(4)

引申发散对命题(3),能否增加条件,或,,使其成立?请阐述你的理由。

不等式的性质篇3

第二课时

教学目标 

1.理解同向不等式，异向不等式概念；

2.掌握并会证明定理1，2，3；

3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；

4.初步理解证明不等式的逻辑推理方法.

教学重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程

教学难点 ：理解证明不等式的逻辑推理方法

教学方法：引导式

教学过程 

一、复习回顾

上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此，我们来作一下回顾：

这一节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质.

二、讲授新课

在证明不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.

1.同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：是同向不等式.

异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：是异向不等式.

2.不等式的性质：

定理1：若，则

定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.

证明：∵，

∴

由正数的相反数是负数，得

说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.

定理2：若，且，则.

证明：∵

∴

根据两个正数的和仍是正数，得

∴说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.

定理3：若，则

定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.

证明：∵

∴

说明：（1）定理3的证明相当于比较与的大小，采用的是求差比较法；

（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若，则即.

定理3推论：若.

证明:∵,

∴    ①

∵

∴     ②

由①、②得

说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；

（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；

（4）定理3的逆命题也成立.（可让学生自证）

三、课堂练习

1.证明定理1后半部分；

2.证明定理3的逆定理.

说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.

课堂小结

通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.

课后作业 

1.求证：若

2.证明：若

板书设计 

§6.1.2 不等式的性质

1.同向不等式         3.定理2    4.定理3     5.定理3

异向不等式         证明         证明        推论

2.定理1证明          说明         说明        证明

第三课时

教学目标 

1.熟练掌握定理1，2，3的应用；

2.掌握并会证明定理4及其推论1，2；

3.掌握反证法证明定理5.

教学重点：定理4，5的证明.

教学难点 ：定理4的应用.

教学方法：引导式

教学过程 ：

一、复习回顾

上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容.

（学生回答）

好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用.

二、讲授新课

定理4：若

若

证明：

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得

当

说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；

（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变.

推论1：若

证明：

①

又

∴   ②

由①、②可得.

说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；

（2）所有的字母都表示正数，如果仅有，就推不出的结论.

（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.

推论2：若

说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；

（2）应强调学生注意n∈N的条件.

定理5：若

我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即，所以不能仅仅否定了，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”.

说明：假定不大于，这有两种情况：或者，或者.

由推论2和定理1，当时，有；

当时，显然有

这些都同已知条件矛盾

所以.

接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.

例2   已知

证明：由

例3 已知

证明：∵

两边同乘以正数

说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.

三、课堂练习

课本P7练习1，2，3.

课堂小结

通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.

课后作业 

课本习题6.14，5.

板书设计 

§6.1.3 不等式的性质

定理4     推论1        定理5         例3    学生

内容                    内容        

证明       推论2        证明         例4      练习

探究活动

能得到什么结论

题目已知且，你能够推出什么结论？

分析与解：由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。

思路一：改变的范围，可得：

1.且；

2.且；

思路二：由已知变量作运算，可得：

3.且；

4.且；

5.且；

6.且；

7.且；

思路三：考虑含有的数学表达式具有的性质，可得：

8.（其中为实常数）是三次方程；

9.（其中为常数）的图象不可能表示直线。

说明从已知信息能够推出什么结论？这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑.

探究关系式是否成立的问题

题目 当成立时，关系式是否成立？若成立，加以证明；若不成立，说明理由。

解：因为，所以，所以，

所以，

所以或

所以或

所以或

所以不可能成立。

说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”（即两种可能性）情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出，必须同时大于1或同时小于1的结论。

探讨增加什么条件使命题成立

例适当增加条件，使下列命题各命题成立：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，，则；

（4）若，则

思路分析：本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。

解：（1）

（2）。当时，

当时，

（3）

（4）

引申发散对命题（3），能否增加条件，或，，使其成立？请阐述你的理由。

不等式的性质篇4

第二课时

教学目标 

1.理解同向不等式，异向不等式概念；

2.掌握并会证明定理1，2，3；

3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；

4.初步理解证明不等式的逻辑推理方法.

教学重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程

教学难点 ：理解证明不等式的逻辑推理方法

教学方法：引导式

教学过程 

一、复习回顾

上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此，我们来作一下回顾：

这一节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质.

二、讲授新课

在证明不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.

1.同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：是同向不等式.

异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：是异向不等式.

2.不等式的性质：

定理1：若，则

定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.

证明：∵，

∴

由正数的相反数是负数，得

说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.

定理2：若，且，则.

证明：∵

∴

根据两个正数的和仍是正数，得

∴说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.

定理3：若，则

定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.

证明：∵

∴

说明：（1）定理3的证明相当于比较与的大小，采用的是求差比较法；

（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若，则即.

定理3推论：若.

证明:∵,

∴    ①

∵

∴     ②

由①、②得

说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；

（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；

（4）定理3的逆命题也成立.（可让学生自证）

三、课堂练习

1.证明定理1后半部分；

2.证明定理3的逆定理.

说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.

课堂小结

通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.

课后作业 

1.求证：若

2.证明：若

板书设计 

§6.1.2 不等式的性质

1.同向不等式         3.定理2    4.定理3     5.定理3

异向不等式         证明         证明        推论

2.定理1证明          说明         说明        证明

第三课时

教学目标 

1.熟练掌握定理1，2，3的应用；

2.掌握并会证明定理4及其推论1，2；

3.掌握反证法证明定理5.

教学重点：定理4，5的证明.

教学难点 ：定理4的应用.

教学方法：引导式

教学过程 ：

一、复习回顾

上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容.

（学生回答）

好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用.

二、讲授新课

定理4：若

若

证明：

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得

当

说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；

（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变.

推论1：若

证明：

①

又

∴   ②

由①、②可得.

说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；

（2）所有的字母都表示正数，如果仅有，就推不出的结论.

（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.

推论2：若

说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；

（2）应强调学生注意n∈N的条件.

定理5：若

我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即，所以不能仅仅否定了，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”.

说明：假定不大于，这有两种情况：或者，或者.

由推论2和定理1，当时，有；

当时，显然有

这些都同已知条件矛盾

所以.

接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.

例2   已知

证明：由

例3 已知

证明：∵

两边同乘以正数

说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.

三、课堂练习

课本P7练习1，2，3.

课堂小结

通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.

课后作业 

课本习题6.14，5.

板书设计 

§6.1.3 不等式的性质

定理4     推论1        定理5         例3    学生

内容                    内容        

证明       推论2        证明         例4      练习

不等式的性质篇5

第二课时

教学目标

1.理解同向不等式，异向不等式概念；

2.掌握并会证明定理1，2，3；

3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；

4.初步理解证明不等式的逻辑推理方法.

教学重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程

教学难点：理解证明不等式的逻辑推理方法

教学方法：引导式

教学过程

一、复习回顾

上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此，我们来作一下回顾：

这一节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质.

二、讲授新课

在证明不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.

1.同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：是同向不等式.

异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：是异向不等式.

2.不等式的性质：

定理1：若，则

定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.

证明：∵，

∴

由正数的相反数是负数，得

说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.

定理2：若，且，则.

证明：∵

∴

根据两个正数的和仍是正数，得

∴说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.

定理3：若，则

定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.

证明：∵

∴

说明：（1）定理3的证明相当于比较与的大小，采用的是求差比较法；

（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若，则即.

定理3推论：若.

证明:∵,

∴    ①

∵

∴     ②

由①、②得

说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；

（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；

（4）定理3的逆命题也成立.（可让学生自证）

三、课堂练习

1.证明定理1后半部分；

2.证明定理3的逆定理.

说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.

课堂小结

通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.

课后作业 

1.求证：若

2.证明：若

板书设计

§6.1.2 不等式的性质

1.同向不等式         3.定理2    4.定理3     5.定理3

异向不等式         证明         证明        推论

2.定理1证明          说明         说明        证明

第三课时

教学目标

1.熟练掌握定理1，2，3的应用；

2.掌握并会证明定理4及其推论1，2；

3.掌握反证法证明定理5.

教学重点：定理4，5的证明.

教学难点：定理4的应用.

教学方法：引导式

教学过程：

一、复习回顾

上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容.

（学生回答）

好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用.

二、讲授新课

定理4：若

若

证明：

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得

当

说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；

（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变.

推论1：若

证明：

①

又

∴   ②

由①、②可得.

说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；

（2）所有的字母都表示正数，如果仅有，就推不出的结论.

（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.

推论2：若

说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；

（2）应强调学生注意n∈N的条件.

定理5：若

我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即，所以不能仅仅否定了，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”.

说明：假定不大于，这有两种情况：或者，或者.

由推论2和定理1，当时，有；

当时，显然有

这些都同已知条件矛盾

所以.

接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.

例2   已知

证明：由

例3 已知

证明：∵

两边同乘以正数

说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.

三、课堂练习

课本P7练习1，2，3.

课堂小结

通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.

课后作业 

课本习题6.14，5.

板书设计

§6.1.3 不等式的性质

定理4     推论1        定理5         例3    学生

内容                    内容        

证明       推论2        证明         例4      练习

探究活动

能得到什么结论

题目已知且，你能够推出什么结论？

分析与解：由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。

思路一：改变的范围，可得：

1.且；

2.且；

思路二：由已知变量作运算，可得：

3.且；

4.且；

5.且；

6.且；

7.且；

思路三：考虑含有的数学表达式具有的性质，可得：

8.（其中为实常数）是三次方程；

9.（其中为常数）的图象不可能表示直线。

说明从已知信息能够推出什么结论？这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑.

探究关系式是否成立的问题

题目 当成立时，关系式是否成立？若成立，加以证明；若不成立，说明理由。

解：因为，所以，所以，

所以，

所以或

所以或

所以或

所以不可能成立。

说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”（即两种可能性）情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出，必须同时大于1或同时小于1的结论。

探讨增加什么条件使命题成立

例适当增加条件，使下列命题各命题成立：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，，则；

（4）若，则

思路分析：本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。

解：（1）

（2）。当时，

当时，

（3）

（4）

引申发散对命题（3），能否增加条件，或，，使其成立？请阐述你的理由。

不等式的性质篇6

第二课时

教学目标 

1.理解同向不等式，异向不等式概念；

2.掌握并会证明定理1，2，3；

3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；

4.初步理解证明不等式的逻辑推理方法.

教学重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程

教学难点 ：理解证明不等式的逻辑推理方法

教学方法：引导式

教学过程 

一、复习回顾

上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此，我们来作一下回顾：

这一节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质.

二、讲授新课

在证明不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.

1.同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：是同向不等式.

异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：是异向不等式.

2.不等式的性质：

定理1：若，则

定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.

证明：∵，

∴

由正数的相反数是负数，得

说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.

定理2：若，且，则.

证明：∵

∴

根据两个正数的和仍是正数，得

∴说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.

定理3：若，则

定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.

证明：∵

∴

说明：（1）定理3的证明相当于比较与的大小，采用的是求差比较法；

（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若，则即.

定理3推论：若.

证明:∵,

∴    ①

∵

∴     ②

由①、②得

说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；

（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；

（4）定理3的逆命题也成立.（可让学生自证）

三、课堂练习

1.证明定理1后半部分；

2.证明定理3的逆定理.

说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.

课堂小结

通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.

课后作业 

1.求证：若

2.证明：若

板书设计 

§6.1.2 不等式的性质

1.同向不等式         3.定理2    4.定理3     5.定理3

异向不等式         证明         证明        推论

2.定理1证明          说明         说明        证明

第三课时

教学目标 

1.熟练掌握定理1，2，3的应用；

2.掌握并会证明定理4及其推论1，2；

3.掌握反证法证明定理5.

教学重点：定理4，5的证明.

教学难点 ：定理4的应用.

教学方法：引导式

教学过程 ：

一、复习回顾

上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容.

（学生回答）

好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用.

二、讲授新课

定理4：若

若

证明：

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得

当

说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；

（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变.

推论1：若

证明：

①

又

∴   ②

由①、②可得.

说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；

（2）所有的字母都表示正数，如果仅有，就推不出的结论.

（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.

推论2：若

说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；

（2）应强调学生注意n∈N的条件.

定理5：若

我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即，所以不能仅仅否定了，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”.

说明：假定不大于，这有两种情况：或者，或者.

由推论2和定理1，当时，有；

当时，显然有

这些都同已知条件矛盾

所以.

接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.

例2   已知

证明：由

例3 已知

证明：∵

两边同乘以正数

说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.

三、课堂练习

课本P7练习1，2，3.

课堂小结

通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.

课后作业 

课本习题6.14，5.

板书设计 

§6.1.3 不等式的性质

定理4     推论1        定理5         例3    学生

内容                    内容        

证明       推论2        证明         例4      练习

不等式的性质篇7

第二课时

教学目标

1.理解同向不等式，异向不等式概念；

2.掌握并会证明定理1，2，3；

3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；

4.初步理解证明不等式的逻辑推理方法.

教学重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程

教学难点：理解证明不等式的逻辑推理方法

教学方法：引导式

教学过程

一、复习回顾

上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此，我们来作一下回顾：

这一节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质.

二、讲授新课

在证明不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.

1.同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：是同向不等式.

异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：是异向不等式.

2.不等式的性质：

定理1：若，则

定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.

证明：∵，

∴

由正数的相反数是负数，得

说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.

定理2：若，且，则.

证明：∵

∴

根据两个正数的和仍是正数，得

∴说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.

定理3：若，则

定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.

证明：∵

∴

说明：（1）定理3的证明相当于比较与的大小，采用的是求差比较法；

（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若，则即.

定理3推论：若.

证明:∵,

∴    ①

∵

∴     ②

由①、②得

说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；

（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；

（4）定理3的逆命题也成立.（可让学生自证）

三、课堂练习

1.证明定理1后半部分；

2.证明定理3的逆定理.

说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.

课堂小结

通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.

课后作业 

1.求证：若

2.证明：若

板书设计

§6.1.2 不等式的性质

1.同向不等式         3.定理2    4.定理3     5.定理3

异向不等式         证明         证明        推论

2.定理1证明          说明         说明        证明

第三课时

教学目标

1.熟练掌握定理1，2，3的应用；

2.掌握并会证明定理4及其推论1，2；

3.掌握反证法证明定理5.

教学重点：定理4，5的证明.

教学难点：定理4的应用.

教学方法：引导式

教学过程：

一、复习回顾

上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容.

（学生回答）

好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用.

二、讲授新课

定理4：若

若

证明：

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得

当

说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；

（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变.

推论1：若

证明：

①

又

∴   ②

由①、②可得.

说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；

（2）所有的字母都表示正数，如果仅有，就推不出的结论.

（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.

推论2：若

说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；

（2）应强调学生注意n∈N的条件.

定理5：若

我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即，所以不能仅仅否定了，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”.

说明：假定不大于，这有两种情况：或者，或者.

由推论2和定理1，当时，有；

当时，显然有

这些都同已知条件矛盾

所以.

接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.

例2   已知

证明：由

例3 已知

证明：∵

两边同乘以正数

说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.

三、课堂练习

课本P7练习1，2，3.

课堂小结

通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.

课后作业 

课本习题6.14，5.

板书设计

§6.1.3 不等式的性质

定理4     推论1        定理5         例3    学生

内容                    内容        

证明       推论2        证明         例4      练习

探究活动

能得到什么结论

题目已知且，你能够推出什么结论？

分析与解：由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。

思路一：改变的范围，可得：

1.且；

2.且；

思路二：由已知变量作运算，可得：

3.且；

4.且；

5.且；

6.且；

7.且；

思路三：考虑含有的数学表达式具有的性质，可得：

8.（其中为实常数）是三次方程；

9.（其中为常数）的图象不可能表示直线。

说明从已知信息能够推出什么结论？这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑.

探究关系式是否成立的问题

题目 当成立时，关系式是否成立？若成立，加以证明；若不成立，说明理由。

解：因为，所以，所以，

所以，

所以或

所以或

所以或

所以不可能成立。

说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”（即两种可能性）情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出，必须同时大于1或同时小于1的结论。

探讨增加什么条件使命题成立

例适当增加条件，使下列命题各命题成立：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，，则；

（4）若，则

思路分析：本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。

解：（1）

（2）。当时，

当时，

（3）

（4）

引申发散对命题（3），能否增加条件，或，，使其成立？请阐述你的理由。

不等式的性质篇8

教学目标 

1.理解不等式的性质，掌握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系，并掌握它们的证明方法以及功能、运用；

2.掌握两个实数比较大小的一般方法；

3.通过不等式性质证明的学习，提高学生逻辑推论的能力；

4.提高本节内容的学习，；培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度；

教学建议

1.教材分析

（1）知识结构

本节首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明。

知识结构图

（2）重点、难点分析

在“不等式的性质”一节中，联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法，复习了初中学过的不等式的基本性质。

不等式的性质是穿越本章内容的一条主线，无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用，不等式的证明和解一些简单的不等式，无不以不等式的性质作为基础。

本节的重点是比较两个实数的大小，不等式的五个定理和三个推论；难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。

①比较实数的大小

教材运用数形结合的观点，从实数与数轴上的点一一对应出发，与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。

指出比较两实数大小的方法是求差比较法：

比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则.

比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.

②理清不等式的几个性质的关系

教材中的不等式共5个定理3个推论，是从证明过程安排顺序的.从这几个性质的分类来说，可以分为三类：

（Ⅰ）不等式的理论性质：（对称性）

（传递性）

（Ⅱ）一个不等式的性质：

(n∈N，n＞1)

(n∈N，n＞1)

（Ⅲ）两个不等式的性质：

2.教法建议

本节课的核心是培养学生的变形技能，训练学生的推理能力.为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础.

授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式.通过问答形式不断地给学生设置疑问（即：设疑）；对教学难点 ，再由讲授形式解决疑问.（即：解疑）.主要思路是：教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑.

教学过程 可分为：发现定理、定理证明、定理应用，采用由形象思维到抽象思维的过渡，发现定理、证明定理.采用类比联想，变形转化，应用定理或应用定理的证明思路；解决一些较简单的证明题.

第一课时

教学目标 

1.掌握实数的运算性质与大小顺序间关系；

2.掌握求差法比较两实数或代数式大小；

3.强调数形结合思想.

教学重点

比较两实数大小

教学难点  

理解实数运算的符号法则

教学方法

启发式

教学过程 

一、复习回顾

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如，在右图中，点A表示实数，点B表示实数,点A在点B右边，那么.

我们再看右图，表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地：

若，则是正数；逆命题也正确.

类似地，若，则是负数；若，则.它们的逆命题都正确.

这就是说：（打出幻灯片1）

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容.

二、讲授新课

1. 比较两实数大小的方法——求差比较法

比较两个实数与的大小，归结为判断它们的差的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则.

比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.

接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.

2. 例题讲解

例1 比较与的大小.

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.

解：

∴

例2 已知,比较（与的大小.

分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.

由得，从而

请同学们想一想，在例2中，如果没有这个条件，那么比较的结果如何？

（学生回答：若没有这一条件，则，从而大