15．3 乘法公式（精选2篇）

15．3乘法公式篇1

15.3乘法公式课时安排   3课时   从容说课   学习乘法公式，是在学习整式乘法的基础上进行的，是由一般到特殊的体现，所以教学时，可以安排学生计算（a+b）（a-b）、（x-y）（x+y）、（a+b）2、（a-b）2、（x+y）2等，在学生计算的基础上引导学生导出公式，并进一步揭示公式的结构特征，使学生理解并掌握这些公式的特点，为正确运用这些公式进行计算打好基础.为了揭示公式特征，教学中要紧紧地采取对比的方式.紧扣例题与公式进行比较，让学生自己进行比较，发现公式的特征.尽管问题千变万化，以千姿百态出现，通过对比，可以发现特征不变，仍符合公式特征，从而根据公式解决问题.   运用乘法公式计算，有时需要添括号，在已学过去括号法则的基础上，本节还安排了添括号法则.它是乘法公式的进一步深化应用的工具和基础.学习它可以和去括号法则对比进行.   在对比中学，在对比中用，在对比中再进行比较，从基本类型的题目到变化多端的题目，从单一题型到复杂题型，从式中的系数、指数、符号、项数、数字等逐一对比，抓住公式、法则的实质，达到娴熟驾驭，左右逢源，才能做到运用自如的效果.§15.3.1 平方差公式第九课时   教学目标   （一）教学知识点   1.经历探索平方差公式的过程.   2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.   （二）能力训练要求   1.在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力.   2.培养学生观察、归纳、概括的能力.   （三）情感与价值观要求    在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美.   教学重点   平方差公式的推导和应用.   教学难点   理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.   教学方法   探究与讲练相结合.   通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用.   教具准备   投影片.   教学过程   ⅰ.提出问题，创设情境   [师]你能用简便方法计算下列各题吗？   （1）×1999  （2）998×1002   [生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，可以写成+1，1999可以写成-1，那么×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出.   [生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了.   [师]很好，请同学们自己动手运算一下.   [生]（1）×1999=（+1）（-1）   =XX2-1+1+1×（-1）   =XX2-1   =4000000-1   =3999999.   （2）998×1002=（1000-2）（1000+2）   =10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2   =10002-22   =1000000-4   =1999996.   [师]×1999=XX2-12      998×1002=10002-22   它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索.   ⅱ.导入新课   [师]出示投影片  计算下列多项式的积.   （1）（x+1）（x-1）   （2）（m+2）（m-2）   （3）（2x+1）（2x-1）   （4）（x+5y）（x-5y）   观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现.   （学生讨论，教师引导）   [生甲]上面四个算式中每个因式都是两项.   [生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积.例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积.   [师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现.   [生]解：（1）（x+1）（x-1）             =x2+x-x-1=x2-12   （2）（m+2）（m-2）       =m2+2m-2m-2×2=m2-22   （3）（2x+1）（2x-1）       =（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12   （4）（x+5y）（x-5y）       =x2+5y•x-x•5y-（5y）2       =x2-（5y）2[生]从刚才的运算我发现：  也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果.    [师]能不能再举例验证你的发现？   [生]能.例如：51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12.    即（50+1）（50-1）=502-12.   （-a+b）（-a-b）=（-a）•（-a）+（-a）•（-b）+b•（-a）+b•（-b）=（-a）2-b2=a2-b2    这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.   [师]为什么会是这样的呢？   [生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了.   [师]很好.请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明.   [生]这个规律用符号表示为：   （a+b）（a-b）=a2-b2.其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式.   利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：   （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2.   [师]同学们真不简单.老师为你们感到骄傲.能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？   [生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？   [师]有道理.这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式.   （出示投影）   两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.   即：（a+b）（a-b）=a2-b2   平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用.   在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算   （出示投影片）   例1：运用平方差公式计算：   （1）（3x+2）（3x-2）   （2）（b+2a）（2a-b）   （3）（-x+2y）（-x-2y）   例2：计算：   （1）102×98   （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）   [师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座.   在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b.   即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22   （a+b）（a-b）=a2-b2   同样的方法可以完成（2）、（3）.如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征.比如（2）应先作如下转化：   （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）.   如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则.   （作如上分析后，学生可以自己完成两个例题.也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）   [例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4.   （2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2.   （3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2.   [例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）   =1002-22=10000-4=9996.   （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）   =y2-22-（y2+5y-y-5）   =y2-4-y2-4y+5   =-4y+1.   [师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？   [生]我觉得应注意以下几点：   （1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.   （2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.   （3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.   [生]运算的最后结果应该是最简才行.   [师]同学们总结得很好.下面请同学们完成一组闯关练习.优胜组选派一名代表做总结发言.   ⅲ.随堂练习   出示投影片：   计算：   （1）（a+b）（-b+a）   （2）（-a-b）（a-b）   （3）（3a+2b）（3a-2b）   （4）（a5-b2）（a5+b2）   （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）   （6）（a-b）（a+b）（a2+b2）   解：（1）（a+b）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2.   （2）（-a-b）（a-b）=（-b-a）（-b+a）=（-b）2-a2=b2-a2.   （3）（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2.   （4）（a5-b2）（a5+b2）=（a5）2-（b2）2=a10-b4.   （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）=（a+2b）2-（2c）2   =（a+2b）（a+2b）-4c2   =a2+a•2b+2b•a+（2b）2-4c2   =a2+4ab+4b2-4c2   （6）（a-b）（a+b）（a2+b2）   =（a2-b2）（a2+b2）   =（a2）2-（b2）2=a4-b4.   优胜组总结发言：   这些运算都可以通过变形后利用平方差公式.其中变形的形式有：位置变形；符号变形；系数变形；指数变形；项数变形；连用公式.关键还是在于理解公式特征，学会对号入座，有整体思想.   ⅳ.课时小结   通过本节学习我们掌握了如下知识.   （1）平方差公式   两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.这个公式叫做乘法的平方差公式.即（a+b）（a-b）=a2-b2.   （2）公式的结构特征   ①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；   ②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；   ③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式.如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2.   ⅴ.课后作业   1.课本p179练习1、2.   2.课本p182～p183习题15.3─1题.   ⅵ.活动与探究   1.计算：1234567892-123456788×123456790   2.解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x-）（x+）=2.   过程：   1.看似数字很大，但观察到：123456788=123456789-1，123456790=123456789+1，所以可以用平方差公式去化简计算.   2.方程中含有多项式的乘法，而且符合平方差公式特征，可以用平方差公式去化简.   结果：   1.1234567892-123456788×123456790   =1234567892-（123456789-1）（123456789+1）   =1234567892-（1234567892-1）   =1234567892-1234567892+1   =1.   2.原方程可化为：   5x+6（3x+2）（3x-2）-54[x2-（）2]=2   ∴5x+6（9x2-4）-54x2+6=2   即5x+54x2-24-54x2+6=2   移项合并同类项得5x=20   ∴x=4.   板书设计   备课资料   [例1]利用平方差公式计算：   （1）（a+3）（a-3）（a2+9）；   （2）（2x-1）（4x2+1）（2x+1）.   分析：（1）（a+3）（a-3）适合平方差公式的形式，应先计算（a+3）（a-3）；（2）中（2x-1）（2x+1）适合平方差公式的形式，应先计算（2x-1）×（2x+1）   解答：（1）原式=（a2-9）（a2+9）   =（a2）2-92=a4-81；   （2）原式=[（2x-1）（2x+1）]（4x2+1）   =[（2x）2-12]（4x2+1）   =（4x2-1）（4x2+1）   =（4x2）2-1=16x4-1.   方法总结：观察、发现哪两个多项式符合平方差公式的结构特征，符合公式结构特征的先算.这是这类试题的计算原则.   [例2]计算：   （1）1002-992+982-972+962-952+…+22-12；   （2）（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）.   分析：直接计算显然太复杂，不难发现每两个项正好是平方相减的形式.于是便考虑能否逆用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）去计算.事实上，这是可行的.   解答：（1）（1002-992）+（982-972）+（962-952）+…+（22-12）   =（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（2+1）（2-1）   =100+99+98+97+…+2+1   =（100+1）+（99+2）+…+（51+50）   =50×101=5050；   （2）（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）.   =（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）…（1+）（1-）（1+）（1-）   =××××××…××××   ＝×=.   方法总结：逆用平方差公式产生了很好的效果。相信你也会运用.

15．3乘法公式篇2

课   题9.5乘法公式的再认识—因式分解

课时分配本课（章节）需3   课时本节课为第1   课时为本学期总第     课时一、运用平方差公式分解因式

教学目标1、使学生了解运用公式来分解因式的意义。2、使学生理解平方差公式的意义，弄清平方差公式的形式和特点；使学生知道把乘法公式反过来就可以得到相应的因式分解。3、掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式（直接用公式不超过两次）

重   点运用平方差公式分解因式

难   点灵活运用平方差公式分解因式

教学方法

对比发现法

课型

新授课

教具投影仪

教   师   活   动

学生活动情景设置：同学们，你能很快知道992-1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？（学生或许还有其他不同的解决方法，教师要给予充分的肯定）新课讲解：从上面992-1=（99+1）（99-1），我们容易看出,这种方法利用了我们刚学过的哪一个乘法公式?首先我们来做下面两题：(投影)1.计算下列各式:(1)(a+2)(a-2)=                     ;(2)(a+b)(a-b)=                    ;(3)(3a+2b)(3a-2b)=                .2.下面请你根据上面的算式填空:(1)a2-4=                     ;(2)a2-b2=                     ;(3)9a2-4b2=                     ;请同学们对比以上两题，你发现什么呢？事实上，像上面第2题那样，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解。（投影）比如：a2–16=a2–42=（a+4）（a–4）例题1：把下列各式分解因式；（投影）(1)36–25x2 ;         (2)16a2–9b2     ;(3)9(a+b)2–4(a–b)2 .(让学生弄清平方差公式的形式和特点并会运用)例题2：如图，求圆环形绿化区的面积练习：第87页练一练第1、2、3题小结：这节课你学到了什么知识，掌握什么方法？教学素材：a组题：1.填空：81x2-   =(9x+y)(9x-y);=             利用因式分解计算：=                 。2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（     ）   （a）       （b） （c）      （d）3.把下列各式分解因式(1)1-16a2              (2)9a2x2-b2y2(3).49(a-b)2-16(a+b)2b组题：1分解因式81a4-b4=    2若a+b=1, a2+b2=1 ,则ab=          ;3若26+28+2n是一个完全平方数，则n=             .由学生自己先做(或互相讨论)，然后回答，若有答不全的，教师(或其他学生)补充.学生回答1：992-1=99×99-1=9801-1=9800学生回答2：992-1就是（99+1）（99-1）即100×98学生回答:平方差公式学生回答:(1): a2-4(2): a2-b2(3): 9a2-4b2学生轻松口答(a+2)(a-2)(a+b)(a-b)(3a+2b)(3a-2b)学生回答:把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来就得到a2-b2=(a+b)(a-b)学生上台板演：36–25x2=62–(5x)2=（6+5x）（6–5x）16a2–9b2=(4a)2–(3b)2=（4a+3b）（4a–3b）9(a+b)2–4(a–b)2=[3(a+b)]2–[2(a–b)]2=[3(a+b)+2(a–b)][3(a+b)–2(a–b)]=（5a+b）（a+5b）解：352π–152π=π（352–152）=（35+15）（35–15）π=50×20π=1000π （m2）这个绿化区的面积是1000πm2学生归纳总结

作业第91页第1(1)(2)②③(3)①③④题

板     书     设     计复习                         例1                      板演……                         ……                      …………                         ……                      …………                         例2                       …………                         ……                      …………                         ……                      ……

教     学     后     记