《1.1二次函数》教学设计（精选8篇）

更新时间：2025-08-12 11:34:24

《1.1二次函数》教学设计篇1

教材分析

本节课主要内容包括：运用二次函数的最大值解决最大面积的问题，让学生体会抛物线的顶点就是二次函数图象的最高点（最低点），因此，可利用顶点坐标求实际问题中的最大值（或最小值）.在最大利润这个问题中，应用顶点坐标求最大利润，是较难的实际问题。

本节课的设计是从生活实例入手，让学生体会在解决问题的过程中获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。

按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：

1、知识与技能

通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。

2、过程与方法

通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。渗透转化及分类的数学思想方法。

3、情感态度价值观

（1）通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。

（2）在知识教学中体会数学知识的应用价值。

本节课的教学重点是“探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法”，教学难点是“如何将实际问题转化为二次函数的问题”。

实验研究：

作为一线教师，应该灵活地处理和使用教材。充分发挥教师自己的智慧，把学生置于教学的出发点和核心地位，应学生而动，应情境而变，课堂才能焕发勃勃生机，课堂上才能显现真正的活力。因此我对教材进行了重新开发，从学生熟悉的生活情境出发，与学生生活背景有密切相关的学习素材来构建学生学习的内容体系。把握好以下两方面内容：

（一）、利用二次函数解决实际问题的易错点：

①题意不清，信息处理不当。

②选用哪种函数模型解题，判断不清。

③忽视取值范围的确定，忽视图象的正确画法。

④将实际问题转化为数学问题，对学生要求较高，一般学生不易达到。

（二）、解决问题的突破点：

①反复读题，理解清楚题意，对模糊的信息要反复比较。

②加强对实际问题的分析，加强对几何关系的探求，提高自己的分析能力。

③注意实际问题对自变量取值范围的影响，进而对函数图象的影响。

④注意检验，养成良好的解题习惯。

因此我由课本的一个问题转化为两个实际问题入手通过创设情境，层层设问，启发学生自主学习。

教学目标

1.知识与能力：初步掌握解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法，总结归纳出二次函数在闭区间上最值的一般规律，学会运用二次函数在闭区间上的图像研究和理解相关问题。

2.过程与方法：通过实验，观察影响二次函数在闭区间上的最值的因素，在此基础上讨论探究出解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。

3.情感、态度与价值观：通过探究，让学生体会分类讨论思想与数形结合思想在解决数学问题中的重要作用,培养学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生合作与交流的能力。

教学重点与难点

教学重点：寻求二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。

教学难点：含参二次函数在闭区间上的最值的求法以及分类讨论思想的正确运用。

学生学情分析

我所代班级的学生是高一新生，他们在初中已学过二次函数的简单性质与图像，知道二次函数在二次函数最值教学设计时在顶点处取得最大值或最小值，在前几节课又学习了函数的概念与表示、单调性与最值的相关知识，已经具备了本节课学习必须的基础知识。

教法分析

根据教学实际,我将本节课设计为数学探究课，在探究的过程中，借助于多媒体教学手段,让学生观察几何画板中的动态演示，通过对二次函数图像的“再认识”，探究二次函数在闭区间上的最值。同时为了配合多媒体的教学，准备了学案让学生配套使用。先让学生提前预习相关内容，对所要探究的问题有初步的了解，再在课堂上详细的探究，课后在学案上有相应的课后作业题让学生巩固所学知识。

教学过程

（一）复习旧知

回忆二次函数的图像与性质：

1.图像:

2.定义域:

3.单调性:

4.最值:

【设计意图】复习旧知，引入新课。

（二）自主探究

探究1：定轴定区间最值问题

分别在下列范围内求函数f(x)=x2-2x-3的最值：

规律总结：作出二次函数的图像，通过图像确定函数在给定区间上的最值。

【设计意图】

通过探究

1，让学生讨论探究定函数在定区间上最值的求解方法，并通过二次函数在闭区间上图像直观形象地观察、分析问题和解决问题。

（三）合作探究（含参二次函数最值求解问题）

探究2：动轴定区间最值问题

求函数f(x)=x2-2tx-3,t∈R在x∈[-2,2]上的最小值。

【设计意图】

通过探究2，让学生讨论探究动轴定区间上最小值的求解方法，并通过动态演示二次函数在闭区间上的图像，让学生直观形象地观察、分析问题和解决问题。

变式训练：求函数f(x)=x2-2tx-3在x∈[-2,2],t∈R上的最大值。

【设计意图】

通过变式训练，让学生进一步体会动轴定区间上最大值的求解方法，同时归纳出动轴定区间最值问题求解的一般规律。

规律总结：移动对称轴，比较对称轴和区间的位置关系，再结合图像进行进行分类讨论，

注意做到“不重不漏”。

探究3：定轴动区间最值问题

求函数f(x)=x2-2x-3在x∈[t,t+2],t∈R的最小值。

【设计意图】让学生分组讨论探究3的求解方法，使学生体会运动的相对性，从而类比探究2的过程与方法可以制定出解决问题3的方法。

变式训练：求函数f(x)=-x2+2x-3在x∈[t,t+2],t∈R的最大值.

【设计意图】

通过变式训练，让学生进一步体会定轴动区间上最大值的求解方法，同时归纳出定轴动区间最值问题求解的一般规律。

规律总结：移动区间，比较对称轴和区间的位置关系，再结合图像进行分类讨论，注意做到“不重不漏”。

（四）知识小结

本节课研究了二次函数的三类最值问题:

(1)定轴定区间最值问题；

(2)动轴定区间最值问题；

(3)定轴动区间最值问题.

核心思想是判断对称轴与区间的相对位置，应用数形结合、分类讨论思想求出最值。

【设计意图】

归纳总结二次函数问题在闭区间上最值的一般解法和规律，完成本节课知识的建构。

（五）结束语

数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休！

(六)课后作业

1.二次函数最值教学设计1.分别在下列范围内求二次函数f(x)=x2+4x-6的最值。

2.求函数f(x)=x2+2tx+2,t∈R在x∈[-5,5]上的最值。

3.求函数f(x)=x2-2x+2在x∈[t,t+1],t∈R的最小值。

【设计意图】

学生应用探究所得知识解决相关问题，进一步巩固和提高二次函数在闭区间上最值的求解方法与规律。

《1.1二次函数》教学设计篇2

二次函数的教学设计

教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页

教学目标：

1. 1. 理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；

2. 2. 通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

3. 3. 通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。

教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。

教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。

教学过程设计：

一. 一. 创设情景、建模引入

我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式

答：S=πR2. ①

2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系

答：S=L（30-L）=30L-L2 ②

分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

S是否是R、L的一次函数？

由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

答：二次函数。

这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

二. 二. 归纳抽象、形成概念

一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) ，

那么，y叫做x的二次函数.

注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.

练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）

（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）

由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。

（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

三. 三. 尝试模仿、巩固提高

让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究

1. 1. 尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？

请同学们画出函数y=x2的图象。

（学生分别画图，教师巡视了解情况。）

2. 2. 模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。

解：一、列表：

-3

-2

-1

Y=x2

二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.

对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。

练习：画出函数 ; 的图象（请两个同学板演）

-3

-2

-1

Y=0.5X2

4.5

0.5

4.5

Y=-X2

-9

-4

-1

-4

-9

画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线。

（这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。）

三. 三. 运用新知、变式探究

画出函数 y=5x2图象

学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Y=5x2

1.25

0.8

0.45

0.2

0.05

0.2

0.45

0.8

1.25

教师出示已画好的图象让学生观察

注意：1.画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。

2.自变量X的取值应注意关于Y轴对称。

3.对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。

四. 四. 归纳小结、延续探究

教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax2的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：

一般的，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是Y轴，顶点是坐标原点；当a＞0时，图象的开口向上，最低点为(0，0)；当a＜0时，图象的开口向下，最高点为(0，0)。

五. 五. 回顾反思、总结收获

在这一环节中，教师请同学们回顾一节课的学习畅谈自己的收获或多、或少、或几点、或全面，总之是人人有所得，个个有提高。这也正是新课标中所倡导的新的理念——不同的人在数学上得到不同的发展。

（在整个一节课上，基本上是学生讲为主，教师讲为辅。一些较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，积极尝试，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题。这样上课气氛非常活跃，学生之间常会因为某个观点的不同而争论，这就给教师提出了更高的要求，一方面要控制好整节课的节奏，另一方面又要察言观色，适时地对某些观点作出判断，或与学生一同讨论。）

《1.1二次函数》教学设计篇3

二次函数的教学设计

马玉宝

教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页

教学目标：

1. 1. 理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；

2. 2. 通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

3. 3. 通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。

教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。

教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。

教学过程设计：

一. 一. 创设情景、建模引入

我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式

答：S=πR2. ①

2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系

答：S=L（30-L）=30L-L2 ②

分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

S是否是R、L的一次函数？

由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

答：二次函数。

这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

二. 二. 归纳抽象、形成概念

一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) ，

那么，y叫做x的二次函数.

注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.

练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）

（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

三. 三. 尝试模仿、巩固提高

让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究

1. 1. 尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？

请同学们画出函数y=x2的图象。

（学生分别画图，教师巡视了解情况。）

2. 2. 模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。

解：一、列表：

-3

-2

-1

Y=x2

二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.

对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。

练习：画出函数 ; 的图象（请两个同学板演）

-3

-2

-1

Y=0.5X2

4.5

0.5

4.5

Y=-X2

-9

-4

-1

-4

-9

画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线。

三. 三. 运用新知、变式探究

画出函数 y=5x2图象

学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

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Y=5x2

1.25

0.8

0.45

0.2

0.05

0.2

0.45

0.8

1.25

教师出示已画好的图象让学生观察

注意：1.画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。

2.自变量X的取值应注意关于Y轴对称。

3.对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。

四. 四. 归纳小结、延续探究

教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax2的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：

五. 五. 回顾反思、总结收获

二次函数的教学设计

马玉宝

教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页

教学目标：

1. 1. 理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；

2. 2. 通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

3. 3. 通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。

教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。

教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。

教学过程设计：

一. 一. 创设情景、建模引入

我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式

答：S=πR2. ①

2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系

答：S=L（30-L）=30L-L2 ②

分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

S是否是R、L的一次函数？

由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

答：二次函数。

这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

二. 二. 归纳抽象、形成概念

一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) ，

那么，y叫做x的二次函数.

注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.

练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）

（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

三. 三. 尝试模仿、巩固提高

让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究

1. 1. 尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？

请同学们画出函数y=x2的图象。

（学生分别画图，教师巡视了解情况。）

2. 2. 模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。

解：一、列表：

-3

-2

-1

Y=x2

二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.

对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。

练习：画出函数 ; 的图象（请两个同学板演）

-3

-2

-1

Y=0.5X2

4.5

0.5

4.5

Y=-X2

-9

-4

-1

-4

-9

画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线。

三. 三. 运用新知、变式探究

画出函数 y=5x2图象

学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Y=5x2

1.25

0.8

0.45

0.2

0.05

0.2

0.45

0.8

1.25

教师出示已画好的图象让学生观察

注意：1.画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。

2.自变量X的取值应注意关于Y轴对称。

3.对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。

四. 四. 归纳小结、延续探究

教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax2的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：

五. 五. 回顾反思、总结收获

《1.1二次函数》教学设计篇4

教学目标：

（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学过程：

一、试一试

1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中，

2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗?

3.我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，

y是x的函数，试写出这个函数的关系式，

对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0＜x＜10。对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0＜x＜10)就是所求的函数关系式.

二、提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：

1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?

[利润=(售价－进价)×销售量]

2.如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?

[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]

3.若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?

[(10－8－x)；(100＋100x)]

4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，

[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]

5.若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

[y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)]

将函数关系式y=x(20－2x)(0＜x＜10＝化为：

y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1)将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：y=－100x2＋100x＋20D(0≤x≤2)……………………(2)

三、观察；概括

1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答；

(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?

(各有1个)

(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式?(分别是二次多项式)

(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?

(都是用自变量的二次多项式来表示的)

(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函

数y取得最大值。

2.二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项.

四、课堂练习

1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数?

(1)y=5x＋1(2)y=4x2－1

(3)y=2x3－3x2(4)y=5x4－3x＋1

2.P3练习第1，2题。

五、小结

1.请叙述二次函数的定义.

2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。

六、作业：

《1.1二次函数》教学设计篇5

教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页

教学目标：

1. 1. 理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；

2. 2. 通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

3. 3. 通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。

教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。

教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。

教学过程设计：

一. 一. 创设情景、建模引入

我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式

答：S=πR2. ①

2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系

答：S=L（30-L）=30L-L2 ②

分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

S是否是R、L的一次函数？

由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

答：二次函数。

这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

二. 二. 归纳抽象、形成概念

一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) ，

那么，y叫做x的二次函数.

注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.

练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）

（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

三. 三. 尝试模仿、巩固提高

让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究

1. 1. 尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？

请同学们画出函数y=x2的图象。

（学生分别画图，教师巡视了解情况。）

2. 2. 模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。

解：一、列表：

-3

-2

-1

Y=x2

二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.

对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。

练习：画出函数 ; 的图象（请两个同学板演）

-3

-2

-1

Y=0.5X2

4.5

0.5

4.5

Y=-X2

-9

-4

-1

-4

-9

画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线。

三. 三. 运用新知、变式探究

画出函数 y=5x2图象

学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Y=5x2

1.25

0.8

0.45

0.2

0.05

0.2

0.45

0.8

1.25

教师出示已画好的图象让学生观察

注意：1.画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。

2.自变量X的取值应注意关于Y轴对称。

3.对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。

四. 四. 归纳小结、延续探究

教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax2的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：

五. 五. 回顾反思、总结收获

《1.1二次函数》教学设计篇6

一、说课内容：

九年级数学下册第27章第一节的二次函数的概念及相关习题(华东师范大学出版社)

二、教材分析：

1、教材的地位和作用

这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解数形结合的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。

2、教学目标和要求：

(1)知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。

(2)过程与方法：复习旧知，通过实际问题的.引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力.

(3)情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心.

3、教学重点：对二次函数概念的理解。

4、教学难点：抽象出实际问题中的二次函数关系。

三、教法学法设计：

1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程

2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程

3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程

四、教学过程：

(一)复习提问

1.什么叫函数?我们之前学过了那些函数?

(一次函数，正比例函数，反比例函数)

2.它们的形式是怎样的?

(y=kx+b，ky=kx,ky=,k0)

3.一次函数(y=kx+b)的自变量是什么?函数是什么?常量是什么?为什么要有k0的条件?k值对函数性质有什么影响?

【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解.强调k0的条件，以备与二次函数中的a进行比较.

(二)引入新课

函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。

例1、(1)圆的半径是r(cm)时，面积s(cm2)与半径之间的关系是什么?

解：s=0)

例2、用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y(m2)与矩形一边长x(m)之间的关系是什么?

解：y=x(20/2-x)=x(10-x)=-x2+10x(0

例3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和y(元)与x之间的关系是什么(不考虑利息税)?

解：y=100(1+x)2

=100(x2+2x+1)

=100x2+200x+100(0

教师提问：以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点?

(三)讲解新课

以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。

二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a0，a,b,c为常数)的函数叫做二次函数。

巩固对二次函数概念的理解：

1、强调形如，即由形来定义函数名称。二次函数即y是关于x的二次多项式(关于的x代数式一定要是整式)。

2、在y=ax2+bx+c中自变量是x，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。(如例1中要求r0)

3、为什么二次函数定义中要求a?

(若a=0，ax2+bx+c就不是关于x的二次多项式了)

4、在例3中，二次函数y=100x2+200x+100中，a=100，b=200，c=100.

5、b和c是否可以为零?

由例1可知，b和c均可为零.

若b=0，则y=ax2+c;

若c=0，则y=ax2+bx;

若b=c=0，则y=ax2.

注明：以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式.

判断：下列函数中哪些是二次函数?哪些不是二次函数?若是二次函数，指出a、b、c.

(1)y=3(x-1)2+1(2)s=3-2t2

(3)y=(x+3)2-x2(4)s=10r2

(5)y=22+2x(6)y=x4+2x2+1(可指出y是关于x2的二次函数)

(四)巩固练习

1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10cm。

(1)当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积;

(2)设这个直角三角形的面积为Scm2,其中一条直角边为xcm，求S关

于x的函数关系式。

【设计意图】此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学习的难度。

2.已知正方体的棱长为xcm,它的表面积为Scm2,体积为Vcm3。

(1)分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子;

(2)这两个函数中，那个是x的二次函数?

【设计意图】简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。通过简单题目的练习，让学生体验到成功的欢愉，激发他们学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。

五、评价分析

本节的一个知识点就是二次函数的概念，教学中教师不能直接给出，而要让学生自己在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型的过程中，使学生感受函数是刻画现实世界数量关系的有效模型，增加对二次函数的感性认识，侧重点通过两个实际问题的探究引导学生自己归纳出这种新的函数二次函数，进一步感受数学在生活中的广泛应用。对于最大面积问题，可给学生留为课下探究问题，发展学生的发散思维，方法不拘一格，只要合理均应鼓励。

《1.1二次函数》教学设计篇7

[本课知识要点]

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义.

[创新思维]

（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？

s=a2

（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式.

y=(4+x)(3+x)?4×3=x2+7x

请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.

二次函数的概念：形如ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫二次函数.

[实践与探索]

例题：

补充例题：

1.m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？

分析若函数是二次函数，须满足的条件是：.

解若函数是二次函数，则

解得，且.

因此，当，且时，函数是二次函数.

回顾与反思形如的函数只有在的条件下才是二次函数.

探索若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？

2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数.

（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；

（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系.

解（1）由题意，得，其中S是a的二次函数；

（2）由题意，得，其中y是x的二次函数；

（3）由题意，得（x≥0且是正整数），

其中y是x的一次函数；

（4）由题意，得，其中S是x的二次函数.

3.正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子.

(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；

(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积.

解（1）；

（2）当x=3cm时，（cm2）.

[当堂课内练习]

1.下列函数中，哪些是二次函数？

（1）（2）

（3）（4）

2.当k为何值时，函数为二次函数？

3.已知正方形的面积为，周长为x（cm）.

(1)请写出y与x的函数关系式；

(2)判断y是否为x的二次函数.

[本课课外作业]

A组

1.已知函数是二次函数，求m的值.

2.已知二次函数，当x=3时，y=-5，当x=-5时，求y的值.

3.已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式.若圆柱的底面半径x为3，求此时的y.

4.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式.这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围.

B组

5.对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）

A.B.C.D.

6.下列函数关系中，可以看作二次函数模型的是（）

A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

B.我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系

C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）

圆的周长与圆的半径之间的关系

《1.1二次函数》教学设计篇8

【知识与技能】

1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.

2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.

【过程与方法】

经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.

【情感态度】

体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识.

【教学重点】

二次函数的概念.

【教学难点】

在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.

一、情境导入，初步认识

1.教材p2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积s(m2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是s=-2x2+100x,(0<x<50)；电脑价格y（元）与平均降价率x的关系式是y=6000x2-1+6000,(0<x<1).它们有什么共同点?一般形式是y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)这样的函数可以叫做什么函数?二次函数.

2.对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢?有.

二、思考探究，获取新知

二次函数的概念及一般形式

在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,

b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出.