圆的方程（通用9篇）

圆的方程篇1

教学目标 

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径.

（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化.

（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题.

（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线.

（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法.

教学建议

教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求，用解决相关问题.

②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用.

教法建议

（1）圆是最简单的曲线.这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备.同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法.

（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结.

（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识.

（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题.建议适当选择一些内容供学生研究.例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题.类似的还有圆系方程等问题.

教学设计示例

圆的一般方程

教学目标 ：

（1）掌握圆的一般方程及其特点.

（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径.

（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程.

（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法.

教学重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径.

（2）用待定系数法求.

教学难点 ：圆的一般方程特点的研究.

教学用具：计算机.

教学方法：启发引导法，讨论法.

教学过程 ：

【引入】

前边已经学过了圆的标准方程

把它展开得

任何都可以通过展开化成形如

①

的方程

【问题1】

形如①的方程的曲线是否都是圆？

师生共同讨论分析：

如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得

②

显然②是不是圆方程与是什么样的数密切相关，具体如下：

（1）当时，②表示以为圆心、以为半径的圆；

（2）当时，②表示一个点；

（3）当时，②不表示任何曲线.

总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示.

圆的一般方程的定义：

当时，①表示以为圆心、以为半径的圆，

此时①称作圆的一般方程.

即称形如的方程为圆的一般方程.

【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同.

（1）和的系数相同，都不为0.

（2）没有形如的二次项.

圆的一般方程与一般的二元二次方程

③

相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件.

圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：

（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然.

（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用.

【实例分析】

例1：下列方程各表示什么图形.

（1）；

（2）；

（3）.

学生演算并回答

（1）表示点（0，0）；

（2）配方得，表示以为圆心，3为半径的圆；

（3）配方得，当、同时为0时，表示原点（0，0）；当、不同时为0时，表示以为圆心，为半径的圆.

例2：求过三点，，的，并求出圆心坐标和半径.

分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解.

解：设为

因为、、三点在圆上，则有

解得：，，

所求为

可化为

圆心为，半径为5.

请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别.

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

（1）求多用待定系数法.其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程.

（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程.一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程.

下面再看一个问题：

例3：经过点作圆的割线，交圆于、两点，求线段的中点的轨迹.

解：圆的方程可化为，其圆心为，半径为2.设是轨迹上任意一点.

∵ 

∴ 

即

化简得

点在曲线上，并且曲线为圆内部的一段圆弧.

【练习巩固】

（1）方程表示的曲线是以为圆心，4为半径的圆.求、、的值.（结果为4，－6，－3）

（2）求经过三点、、的.

分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得为.

（3）课本第79页练习1，2.

【小结】师生共同总结：

（1）圆的一般方程及其特点.

（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径.

（3）用待定系数法求.

【作业 】课本第82页5，6，7，8.

【板书设计 】

圆的一般方程

圆的一般方程

例1：

例2：

例3：

练习：

小结：

作业 ：

圆的方程篇2

教学目标

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径.

（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化.

（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题.

（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线.

（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法.

教学建议

教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求，用解决相关问题.

②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用.

教法建议

（1）圆是最简单的曲线.这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备.同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法.

（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结.

（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识.

（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题.建议适当选择一些内容供学生研究.例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题.类似的还有圆系方程等问题.

教学设计示例

圆的一般方程

教学目标：

（1）掌握圆的一般方程及其特点.

（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径.

（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程.

（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法.

教学重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径.

（2）用待定系数法求.

教学难点：圆的一般方程特点的研究.

教学用具：计算机.

教学方法：启发引导法，讨论法.

教学过程：

【引入】

前边已经学过了圆的标准方程

把它展开得

任何都可以通过展开化成形如

①

的方程

【问题1】

形如①的方程的曲线是否都是圆？

师生共同讨论分析：

如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得

②

显然②是不是圆方程与是什么样的数密切相关，具体如下：

（1）当时，②表示以为圆心、以为半径的圆；

（2）当时，②表示一个点；

（3）当时，②不表示任何曲线.

总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示.

圆的一般方程的定义：

当时，①表示以为圆心、以为半径的圆，

此时①称作圆的一般方程.

即称形如的方程为圆的一般方程.

【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同.

（1）和的系数相同，都不为0.

（2）没有形如的二次项.

圆的一般方程与一般的二元二次方程

③

相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件.

圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：

（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然.

（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用.

【实例分析】

例1：下列方程各表示什么图形.

（1）；

（2）；

（3）.

学生演算并回答

（1）表示点（0，0）；

（2）配方得，表示以为圆心，3为半径的圆；

（3）配方得，当、同时为0时，表示原点（0，0）；当、不同时为0时，表示以为圆心，为半径的圆.

例2：求过三点，，的，并求出圆心坐标和半径.

分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解.

解：设为

因为、、三点在圆上，则有

解得：，，

所求为

可化为

圆心为，半径为5.

请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别.

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

（1）求多用待定系数法.其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程.

（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程.一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程.

下面再看一个问题：

例3：经过点作圆的割线，交圆于、两点，求线段的中点的轨迹.

解：圆的方程可化为，其圆心为，半径为2.设是轨迹上任意一点.

∵ 

∴ 

即

化简得

点在曲线上，并且曲线为圆内部的一段圆弧.

【练习巩固】

（1）方程表示的曲线是以为圆心，4为半径的圆.求、、的值.（结果为4，－6，－3）

（2）求经过三点、、的.

分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得为.

（3）课本第79页练习1，2.

【小结】师生共同总结：

（1）圆的一般方程及其特点.

（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径.

（3）用待定系数法求.

【作业 】课本第82页5，6，7，8.

【板书设计】

圆的一般方程

圆的一般方程

例1：

例2：

例3：

练习：

小结：

作业 ：

圆的方程篇3

教学目标

(1)把握圆的标准方程,能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程,也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径.

教学建议

教材分析

(2)重点、难点分析

教学设计示例

圆的一般方程

教学目标:

(1)把握圆的一般方程及其特点.

(2)能将圆的一般方程转化为圆的标准方程,从而求出圆心和半径.

(3)能用待定系数法,由已知条件求出圆的一般方程.

(4)通过本节课学习,进一步把握配方法和待定系数法.

教学重点:(1)用配方法,把圆的一般方程转化成标准方程,求出圆心和半径.

(2)用待定系数法求圆的方程.

教学难点:圆的一般方程特点的研究.

教学用具:计算机.

教学方法:启发引导法,讨论法.

教学过程:

引入

前边已经学过了圆的标准方程

把它展开得

任何圆的方程都可以通过展开化成形如

①

的方程

问题1

形如①的方程的曲线是否都是圆?

师生共同讨论分析:

假如①表示圆,那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗?运用配方法,得

②

显然②是不是圆方程与是什么样的数密切相关,具体如下:

(1)当时,②表示以为圆心、以为半径的圆;

(2)当时,②表示一个点;

(3)当时,②不表示任何曲线.

总结:任意形如①的方程可能表示一个圆,也可能表示一个点,还有可能什么也不表示.

圆的一般方程的定义:

当时,①表示以为圆心、以为半径的圆,

此时①称作圆的一般方程.

即称形如的方程为圆的一般方程.

问题2圆的一般方程的特点,与圆的标准方程的异同.

(1)和的系数相同,都不为0.

(2)没有形如的二次项.

圆的一般方程与一般的二元二次方程

③

相比较,上述(1)、(2)两个条件仅是③表示圆的必要条件,而不是充分条件或充要条件.

圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋:

(1)圆的标准方程带有明显的几何的影子,圆心和半径一目了然.

(2)圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构,更适合方程理论的运用.

实例分析

例1:下列方程各表示什么图形.

(1);

(2);

(3).

学生演算并回答

(1)表示点(0,0);

(2)配方得,表示以为圆心,3为半径的圆;

(3)配方得,当、同时为0时,表示原点(0,0);当、不同时为0时,表示以为圆心,为半径的圆.

例2:求过三点,,的圆的方程,并求出圆心坐标和半径.

分析:由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程,那么本题既可以用标准方程求解,也可以用一般方程求解.

解:设圆的方程为

因为、、三点在圆上,则有

解得:,,

所求圆的方程为

可化为

圆心为,半径为5.

请同学们再用标准方程求解,比较两种解法的区别.

概括总结通过学生讨论,师生共同总结:

(1)求圆的方程多用待定系数法.其步骤为:由题意设方程(标准方程或一般方程);根据条件列出关于待定系数的方程组;解方程组求出系数,写出方程.

(2)如何选用圆的标准方程和圆的一般方程.一般地,易求圆心和半径时,选用标准方程;假如给出圆上已知点,可选用一般方程.

下面再看一个问题:

例3:经过点作圆的割线,交圆于、两点,求线段的中点的轨迹.

解:圆的方程可化为,其圆心为,半径为2.设是轨迹上任意一点.

∵

∴

即

化简得

点在曲线上,并且曲线为圆内部的一段圆弧.

练习巩固

(1)方程表示的曲线是以为圆心,4为半径的圆.求、、的值.(结果为4,-6,-3)

(2)求经过三点、、的圆的方程.

分析:用圆的一般方程,代入点的坐标,解方程组得圆的方程为.

(3)课本第79页练习1,2.

小结师生共同总结:

(1)圆的一般方程及其特点.

(2)用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程,求圆心坐标和半径.

(3)用待定系数法求圆的方程.

作业课本第82页5,6,7,8.

板书设计

圆的一般方程

圆的一般方程

例1:

例2:

例3:

练习:

小结:

作业:

圆的方程篇4

教学目标

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径.

（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化.

（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题.

（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线.

（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法.

教学建议

教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求，用解决相关问题.

②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用.

教法建议

（1）圆是最简单的曲线.这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备.同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法.

（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结.

（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识.

（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题.建议适当选择一些内容供学生研究.例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题.类似的还有圆系方程等问题.

教学设计示例

圆的一般方程

教学目标：

（1）掌握圆的一般方程及其特点.

（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径.

（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程.

（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法.

教学重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径.

（2）用待定系数法求.

教学难点：圆的一般方程特点的研究.

教学用具：计算机.

教学方法：启发引导法，讨论法.

教学过程：

【引入】

前边已经学过了圆的标准方程

把它展开得

任何都可以通过展开化成形如

①

的方程

【问题1】

形如①的方程的曲线是否都是圆？

师生共同讨论分析：

如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得

②

显然②是不是圆方程与是什么样的数密切相关，具体如下：

（1）当时，②表示以为圆心、以为半径的圆；

（2）当时，②表示一个点；

（3）当时，②不表示任何曲线.

总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示.

圆的一般方程的定义：

当时，①表示以为圆心、以为半径的圆，

此时①称作圆的一般方程.

即称形如的方程为圆的一般方程.

【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同.

（1）和的系数相同，都不为0.

（2）没有形如的二次项.

圆的一般方程与一般的二元二次方程

③

相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件.

圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：

（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然.

（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用.

【实例分析】

例1：下列方程各表示什么图形.

（1）；

（2）；

（3）.

学生演算并回答

（1）表示点（0，0）；

（2）配方得，表示以为圆心，3为半径的圆；

（3）配方得，当、同时为0时，表示原点（0，0）；当、不同时为0时，表示以为圆心，为半径的圆.

例2：求过三点，，的，并求出圆心坐标和半径.

分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解.

解：设为

因为、、三点在圆上，则有

解得：，，

所求为

可化为

圆心为，半径为5.

请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别.

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

（1）求多用待定系数法.其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程.

（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程.一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程.

下面再看一个问题：

例3：经过点作圆的割线，交圆于、两点，求线段的中点的轨迹.

解：圆的方程可化为，其圆心为，半径为2.设是轨迹上任意一点.

∵ 

∴ 

即

化简得

点在曲线上，并且曲线为圆内部的一段圆弧.

【练习巩固】

（1）方程表示的曲线是以为圆心，4为半径的圆.求、、的值.（结果为4，－6，－3）

（2）求经过三点、、的.

分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得为.

（3）课本第79页练习1，2.

【小结】师生共同总结：

（1）圆的一般方程及其特点.

（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径.

（3）用待定系数法求.

【作业 】课本第82页5，6，7，8.

【板书设计】

圆的一般方程

圆的一般方程

例1：

例2：

例3：

练习：

小结：

作业 ：

圆的方程篇5

教学目标 

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径.

（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化.

（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题.

（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线.

（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法.

教学建议

教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求，用解决相关问题.

②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用.

教法建议

（1）圆是最简单的曲线.这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备.同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法.

（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结.

（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识.

（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题.建议适当选择一些内容供学生研究.例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题.类似的还有圆系方程等问题.

教学设计示例

圆的一般方程

教学目标 ：

（1）掌握圆的一般方程及其特点.

（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径.

（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程.

（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法.

教学重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径.

（2）用待定系数法求.

教学难点 ：圆的一般方程特点的研究.

教学用具：计算机.

教学方法：启发引导法，讨论法.

教学过程 ：

【引入】

前边已经学过了圆的标准方程

把它展开得

任何都可以通过展开化成形如

①

的方程

【问题1】

形如①的方程的曲线是否都是圆？

师生共同讨论分析：

如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得

②

显然②是不是圆方程与是什么样的数密切相关，具体如下：

（1）当时，②表示以为圆心、以为半径的圆；

（2）当时，②表示一个点；

（3）当时，②不表示任何曲线.

总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示.

圆的一般方程的定义：

当时，①表示以为圆心、以为半径的圆，

此时①称作圆的一般方程.

即称形如的方程为圆的一般方程.

【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同.

（1）和的系数相同，都不为0.

（2）没有形如的二次项.

圆的一般方程与一般的二元二次方程

③

相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件.

圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：

（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然.

（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用.

【实例分析】

例1：下列方程各表示什么图形.

（1）；

（2）；

（3）.

学生演算并回答

（1）表示点（0，0）；

（2）配方得，表示以为圆心，3为半径的圆；

（3）配方得，当、同时为0时，表示原点（0，0）；当、不同时为0时，表示以为圆心，为半径的圆.

例2：求过三点，，的，并求出圆心坐标和半径.

分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解.

解：设为

因为、、三点在圆上，则有

解得：，，

所求为

可化为

圆心为，半径为5.

请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别.

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

（1）求多用待定系数法.其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程.

（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程.一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程.

下面再看一个问题：

例3：经过点作圆的割线，交圆于、两点，求线段的中点的轨迹.

解：圆的方程可化为，其圆心为，半径为2.设是轨迹上任意一点.

∵ 

∴ 

即

化简得

点在曲线上，并且曲线为圆内部的一段圆弧.

【练习巩固】

（1）方程表示的曲线是以为圆心，4为半径的圆.求、、的值.（结果为4，－6，－3）

（2）求经过三点、、的.

分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得为.

（3）课本第79页练习1，2.

【小结】师生共同总结：

（1）圆的一般方程及其特点.

（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径.

（3）用待定系数法求.

【作业 】课本第82页5，6，7，8.

【板书设计 】

圆的一般方程

圆的一般方程

例1：

例2：

例3：

练习：

小结：

作业 ：

圆的方程篇6

教学目标 

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径.

（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化.

（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题.

（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线.

（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法.

教学建议

教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求，用解决相关问题.

②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用.

教法建议

（1）圆是最简单的曲线.这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备.同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法.

（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结.

（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识.

（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题.建议适当选择一些内容供学生研究.例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题.类似的还有圆系方程等问题.

教学设计示例

圆的一般方程

教学目标 ：

（1）掌握圆的一般方程及其特点.

（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径.

（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程.

（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法.

教学重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径.

（2）用待定系数法求.

教学难点 ：圆的一般方程特点的研究.

教学用具：计算机.

教学方法：启发引导法，讨论法.

教学过程 ：

【引入】

前边已经学过了圆的标准方程

把它展开得

任何都可以通过展开化成形如

①

的方程

【问题1】

形如①的方程的曲线是否都是圆？

师生共同讨论分析：

如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得

②

显然②是不是圆方程与是什么样的数密切相关，具体如下：

（1）当时，②表示以为圆心、以为半径的圆；

（2）当时，②表示一个点；

（3）当时，②不表示任何曲线.

总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示.

圆的一般方程的定义：

当时，①表示以为圆心、以为半径的圆，

此时①称作圆的一般方程.

即称形如的方程为圆的一般方程.

【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同.

（1）和的系数相同，都不为0.

（2）没有形如的二次项.

圆的一般方程与一般的二元二次方程

③

相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件.

圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：

（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然.

（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用.

【实例分析】

例1：下列方程各表示什么图形.

（1）；

（2）；

（3）.

学生演算并回答

（1）表示点（0，0）；

（2）配方得，表示以为圆心，3为半径的圆；

（3）配方得，当、同时为0时，表示原点（0，0）；当、不同时为0时，表示以为圆心，为半径的圆.

例2：求过三点，，的，并求出圆心坐标和半径.

分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解.

解：设为

因为、、三点在圆上，则有

解得：，，

所求为

可化为

圆心为，半径为5.

请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别.

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

（1）求多用待定系数法.其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程.

（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程.一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程.

下面再看一个问题：

例3：经过点作圆的割线，交圆于、两点，求线段的中点的轨迹.

解：圆的方程可化为，其圆心为，半径为2.设是轨迹上任意一点.

∵ 

∴ 

即

化简得

点在曲线上，并且曲线为圆内部的一段圆弧.

【练习巩固】

（1）方程表示的曲线是以为圆心，4为半径的圆.求、、的值.（结果为4，－6，－3）

（2）求经过三点、、的.

分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得为.

（3）课本第79页练习1，2.

【小结】师生共同总结：

（1）圆的一般方程及其特点.

（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径.

（3）用待定系数法求.

【作业 】课本第82页5，6，7，8.

【板书设计 】

圆的一般方程

圆的一般方程

例1：

例2：

例3：

练习：

小结：

作业 ：

圆的方程篇7

教学目的：掌握圆的标准方程，并能解决与之有关的问题 

教学重点：圆的标准方程及有关运用 

教学难点 ：标准方程的灵活运用 

教学过程 ： 

一、导入  新课，探究标准方程 

二、掌握知识，巩固练习 

练习：⒈说出下列圆的方程 

⑴圆心（3，-2）半径为5 ⑵圆心（0，3）半径为3 

⒉指出下列圆的圆心和半径 

⑴（x-2）2+(y+3)2=3 

⑵x2+y2=2 

⑶x2+y2-6x+4y+12=0 

⒊判断3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置关系 

⒋圆心为（1，3），并与3x-4y-7=0相切，求这个圆的方程 

三、引伸提高，讲解例题 

例1、圆心在y=-2x上，过p(2,-1)且与x-y=1相切求圆的方程（突出待定系数的数学方法） 

练习：1、某圆过(-2,1)、(2,3)，圆心在x轴上，求其方程。 

2、某圆过A(-10,0)、B(10,0)、C(0,4)，求圆的方程。 

例2：某圆拱桥的跨度为20米，拱高为4米，在建造时每隔4米加一个支柱支撑，求A2P2的长度。 

例3、点M(x0,y0)在 x2+y2=r2上,求过M的圆的切线方程(一题多解,训练思维) 

四、小结练习 P77  1，2，3，4 

五、作业      P81  1，2，3，4 

圆的方程篇8

§7.6 圆的方程（第二课时）

㈠课时目标 

1. 掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。

2. 待定系数法之应用。

㈡问题导学

问题1：写出圆心为（a,b）,半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。-2ax-2by+=0

问题2：下列方程是否表示圆的方程，判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么？

①；           ②1                     

③0；           ④-2x+4y+4=0

⑤-2x+4y+5=0;            ⑥-2x+4y+6=0

㈢教学过程 

[情景设置] 

把圆的标准方程展开得-2ax-2by+ =0

可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：

+Dx+Ey+F=0                                       ①

提问:方程表示的曲线是不是圆?一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗?

[探索研究]

将①配方得:   () ② 

将方程②与圆的标准方程对照.

⑴当＞0时,方程②表示圆心在(-),半径为的圆.

⑵当=0时,方程①只表示一个点(-).

⑶当＜0时,方程①无实数解,因此它不表示任何图形.

结论:当＞0时,方程①表示一个圆,方程①叫做圆的一般方程.

圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了形式上的特点:

⑴和的系数相同,不等于0;

⑵没有xy这样的二次项.

以上两点是二元二次方程A+Bxy+C+Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件

[知识应用与解题研究]

[例1] 求下列各圆的半径和圆心坐标.

⑴-6x=0;    ⑵+2by=0(b≠0)

[例2]求经过O（0，0），A（1，1），B（2，4）三点的圆的方程，并指出圆心和半径。

分析：用待定系数法设方程为  +Dx+Ey+F=0，求出D，E，F即可。

[例3]已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。

分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。

反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距离之比为定植k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。

㈣提炼总结

1. 圆的一般方程：+Dx+Ey+F=0（＞0）。

2. 二元二次方程A+Bxy+C+Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件是：A=C≠0且B=0。

3. 圆的方程两种形式的选择：与圆心半径有直接关系时用标准式，无直接关系选一般式。

4. 两圆的位置关系（相交、相离、相切、内含）。

㈤布置作业 

1. 直线l过点P（3，0）且与圆-8x-2y+12=0截得的弦最短，则直线l的方程为：

2. 求下列各圆的圆心、半径并画出它们的图形。

⑴   -2x-5=0； ⑵+2x-4y-4=0

3.经过两圆+6x-4=0和+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。

圆的方程篇9

圆的方程

教学目标

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径.

（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化.

（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题.

（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线.

（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法.

教学建议

教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求圆的方程，用圆的方程解决相关问题.

②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用.

教法建议

（1）圆是最简单的曲线.这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备.同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法.

（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结.

（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识.

（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题.建议适当选择一些内容供学生研究.例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题.类似的还有圆系方程等问题.

教学设计示例

圆的一般方程

教学目标：

（1）掌握圆的一般方程及其特点.

（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径.

（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程.

（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法.

教学重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径.

（2）用待定系数法求圆的方程.

教学难点：圆的一般方程特点的研究.

教学用具：计算机.

教学方法：启发引导法，讨论法.

教学过程：

【引入】

前边已经学过了圆的标准方程

把它展开得

任何圆的方程都可以通过展开化成形如

①

的方程

【问题1】

形如①的方程的曲线是否都是圆？

师生共同讨论分析：

如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得

②

显然②是不是圆方程与是什么样的数密切相关，具体如下：

（1）当时，②表示以为圆心、以为半径的圆；

（2）当时，②表示一个点；

（3）当时，②不表示任何曲线.

总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示.

圆的一般方程的定义：

当时，①表示以为圆心、以为半径的圆，

此时①称作圆的一般方程.

即称形如的方程为圆的一般方程.

【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同.

（1）和的系数相同，都不为0.

（2）没有形如的二次项.

圆的一般方程与一般的二元二次方程

③

相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件.

圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：

（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然.

（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用.

【实例分析】

例1：下列方程各表示什么图形.

（1）；

（2）；

（3）.

学生演算并回答

（1）表示点（0，0）；

（2）配方得，表示以为圆心，3为半径的圆；

（3）配方得，当、同时为0时，表示原点（0，0）；当、不同时为0时，表示以为圆心，为半径的圆.

例2：求过三点，，的圆的方程，并求出圆心坐标和半径.

分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解.

解：设圆的方程为

因为、、三点在圆上，则有

解得：，，

所求圆的方程为

可化为

圆心为，半径为5.

请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别.

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

（1）求圆的方程多用待定系数法.其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程.

（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程.一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程.

下面再看一个问题：

例3：经过点作圆的割线，交圆于、两点，求线段的中点的轨迹.

解：圆的方程可化为，其圆心为，半径为2.设是轨迹上任意一点.

∵

∴

即

化简得

点在曲线上，并且曲线为圆内部的一段圆弧.

【练习巩固】

（1）方程表示的曲线是以为圆心，4为半径的圆.求、、的值.（结果为4，－6，－3）

（2）求经过三点、、的圆的方程.

分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得圆的方程为.

（3）课本第79页练习1，2.

【小结】师生共同总结：

（1）圆的一般方程及其特点.

（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径.

（3）用待定系数法求圆的方程.

【作业】课本第82页5，6，7，8.