§14．3．2.1  等边三角形（三）

§14.3.2.1 等边三角形（三）
教学过程
一、 复习等腰三角形的判定与性质
二、 新授：
1.等边三角形的性质：三边相等；三角都是60°；三边上的中线、高、角平分线相等
2.等边三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
 注意：推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中，只要有一个角是600，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系.
3.由学生解答课本148页的例子；
4.补充：已知如图所示,在△abc中, bd是ac边上的中线,db⊥bc于b,
∠abc=120o,求证:ab=2bc
分析  由已知条件可得∠abd=30o,如能构造有一个锐角是30o的直角三角形,斜边是ab,30o角所对的边是与bc相等的线段,问题就得到解决了.
b

        
证明:过a作ae∥bc交bd的延长线于e
∵db⊥bc(已知)
∴∠aed=90o(两直线平行内错角相等)
在△ade和△cdb中
 
∴△ade≌△cdb(aas)
∴ae=cb(全等三角形的对应边相等)
∵∠abc=120o,db⊥bc(已知)
∴∠abd=30o
在rt△abe中,∠abd=30o
∴ae=ab(在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,
那么它所对的直角边等于斜边的一半)
∴bc=ab  即ab=2bc
点评  本题还可过c作ce∥ab
5、训练：如图所示,在等边△abc的边的延长线上取一点e,以ce为边作等边△cde,使它与△abc位于直线ae的同一侧,点m为线段ad的中点,点n为线段be的中点,求证:△cnm是等边三角形.
分析  由已知易证明△adc≌△bec,得be=ad,∠ebc=∠dae,而m、n分别为be、ad的中点，于是有bn=am，要证明△cnm是等边三角形，只须证mc=cn，∠mcn=60o，所以要证△nbc≌△mac，由上述已推出的结论，根据边角边公里，可证得△nbc≌△mac
证明：∵等边△abc和等边△dce，
∴bc=ac，cd=ce，（等边三角形的边相等）
∠bca=∠dce=60o（等边三角形的每个角都是60）
∴∠bce=∠dca
∴△bce≌△acd（sas）
∴∠ebc=∠dac（全等三角形的对应角相等）
be=ad（全等三角形的对应边相等）
又∵bn=be，am=ad（中点定义）
∴bn=am
∴△nbc≌△mac（sas）
∴cm=cn（全等三角形的对应边相等）
∠acm=∠bcn（全等三角形的对应角相等）
∴∠mcn=∠acb=60o
∴△mcn为等边三角形（有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形）
解题小结
1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种方法进行分析
2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△mcn是一个含60o角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键.
三、小结本节知识
四、作业：课本151页第13，14题