角的平分线（精选11篇）

角的平分线篇1

知识结构

重点与难点分析：

本节内容的重点是角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等，开辟了新的途径，简化了证明过程。

本节内容的难点是：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。对于原命题和逆命题，学生对条件和结论容易混淆，特别是没有明显的提示语言时，更易找不准条件和结论，这就成了教学的难点。

教法建议：

整堂课围绕“以复习为基础，以过程为主线，以思维为中心，以训练为手段”开展教学。注重学生的参与度，通过提问、板演、讨论等多种形式，让学生直接参加课堂活动，将教与学融为一体。具体说明如下：

（1）做好铺垫

新课引入前，作一个具体画图的练习：已知角画出它的角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。这样做一是复习了角平分线的定义和点到直线距离的定义；二是为本节课的学习奠定了图形基础。

（2）主动获取

利用上面的图形，观察这两个距离的关系，并证明自己的结论。对基础条件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。对基础稍差一些的同学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确，此时教师要做指导。这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动，主动提出此定理。

（3）激荡思维

在上面定理的基础上，让学找出此定理的条件与结论，并交换条件与结论得到一个新的命题，然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到是一个真命题。此时顺理成章地引出教材中的定理2。最后注意强调：两个定理的区别与联系；原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆命题的方法步骤。这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。

（4）推向深入

进行必要的例题讲解，然后进行有层次阶梯性训练，以达到熟练地运用定理证明有关问题。教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。同时让学生总结积累证明线段相等、角相等的常见方法。

教学目标 ：

1、知识目标：

（1）掌握角平分线的性质定理和逆定理；

（2）能够运用性质定理和逆定理证明两个角相等或两条线段相等；

（3）能够判定两个命题是否为互逆命题，并能写出一个命题的逆命题.

2、能力目标：

（1）通过“判断题”的练习，提高学生的辨析能力；

（2）通过公理的初步应用，培养学生的逻辑推理能力及创新的能力.

3、情感目标：

（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。

教学重点：角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。

教学难点 ：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。。

教学用具：直尺，微机

教学方法：谈话法

教学过程 ：

1、新课引入

投影显示

问题：（1）画一个；

（2）在这条平分线上任取一点P，标出P点到角两边的距离。

（3）说出这两段距离的关系并证明。

2、定理的获得

让学生用文字语言叙述出定理的内容

角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角两边距离相等。

强调说明：

（1）、定理的条件及结论的符号表示；

（2）、定理的作用：直接证明两线段相等。使用的前提是有，关键是图中是否有“垂直”。

3、运用逆向思维，导出定理的逆定理

问题：将定理的条件与结论“换位”得到一个新命题，说出这个新命题的内容，并判断命题是真命题还是假命题？学生分析、讨论用文字叙述内容，老师作必要的提示。

逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个上。

强调：a逆定理的作用：证明角相等

b、二定理的区别与联系：性质定理说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；判定定理反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等（角平分线）

4、原命题与逆命题

a、概念

b、写出互逆命题的关键。

c、原使命与逆使命的真假性并无一定的依存关系。

5、定理的应用(投影四个例题)

例1、已知：如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

学生先分析，教师巡视并适当点拨。

投影显示学生的证明过程，师生共同纠正补充完善。

投影规范的书写格式:

（见书中例题）

此题设想：（1）语言要规范。例“过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F”这一段话一定要在证明中写出。

（2）几何证明中，常见“同理”二字，讲清“同理”适用的条件以免以后乱用。

例2、已知：如图2，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.

求证：P在∠A的平分线上

证明：（略）

设想：（1）证明“点在线上”这类问题的解决方法

（2）“一般解题方法”的运用

（3）投影显示学生的书写步骤，检查学生数学语言是否规范。

例3、写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题

（1）全等三角形的对应角相等；

（2）对顶角相等；

（3）如果，那么；

（4）直角三角形的两个锐角互余.

例4、已知：如图3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点

求证：∠BDP＝∠CDP

证明：（略）

设想：一般解题方法的教学。

6、课堂小结：教师引导学生总结

(1)角平分线的性质定理及逆定理；

(2)二定理的关系；

(3)一般解题方法

让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。

5、布置作业 ：

(a)书面作业 P80＃9

(b)思考题：

(1)已知：如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.

求证：∠A+∠C＝

（2）求证三角形的三条内角平分线交于一点。

板书设计 ：

探究活动

如图，公路南有一学校在铁路的东侧，到公路的距离与到铁路的距离相等，并且与两路交叉处O的距离为400米，在图上标出学校的位置，并说明理由（比例尺1：10000）。

提示：解决这类问题的方法是把实际应用问题转化为数学问题，然后用数学知识解决。

解：把公路、铁路看作两条相交直线，画出它们交，在上，从顶点量出表示实际400米长的线段便可确定学校的位置。表示实际400米长的线段为：0.04米＝4cm

角的平分线篇2

知识结构

重点与难点分析：

本节内容的重点是角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等，开辟了新的途径，简化了证明过程。

本节内容的难点是：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。对于原命题和逆命题，学生对条件和结论容易混淆，特别是没有明显的提示语言时，更易找不准条件和结论，这就成了教学的难点。

教法建议：

整堂课围绕“以复习为基础，以过程为主线，以思维为中心，以训练为手段”开展教学。注重学生的参与度，通过提问、板演、讨论等多种形式，让学生直接参加课堂活动，将教与学融为一体。具体说明如下：

（1）做好铺垫

新课引入前，作一个具体画图的练习：已知角画出它的角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。这样做一是复习了角平分线的定义和点到直线距离的定义；二是为本节课的学习奠定了图形基础。

（2）主动获取

利用上面的图形，观察这两个距离的关系，并证明自己的结论。对基础条件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。对基础稍差一些的同学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确，此时教师要做指导。这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动，主动提出此定理。

（3）激荡思维

在上面定理的基础上，让学找出此定理的条件与结论，并交换条件与结论得到一个新的命题，然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到是一个真命题。此时顺理成章地引出教材中的定理2。最后注意强调：两个定理的区别与联系；原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆命题的方法步骤。这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。

（4）推向深入

进行必要的例题讲解，然后进行有层次阶梯性训练，以达到熟练地运用定理证明有关问题。教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。同时让学生总结积累证明线段相等、角相等的常见方法。

教学目标：

1、知识目标：

（1）掌握角平分线的性质定理和逆定理；

（2）能够运用性质定理和逆定理证明两个角相等或两条线段相等；

（3）能够判定两个命题是否为互逆命题，并能写出一个命题的逆命题.

2、能力目标：

（1）通过“判断题”的练习，提高学生的辨析能力；

（2）通过公理的初步应用，培养学生的逻辑推理能力及创新的能力.

3、情感目标：

（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。

教学重点：角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。

教学难点：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。。

教学用具：直尺，微机

教学方法：谈话法

教学过程：

1、新课引入

投影显示

问题：（1）画一个；

（2）在这条平分线上任取一点P，标出P点到角两边的距离。

（3）说出这两段距离的关系并证明。

2、定理的获得

让学生用文字语言叙述出定理的内容

角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角两边距离相等。

强调说明：

（1）、定理的条件及结论的符号表示；

（2）、定理的作用：直接证明两线段相等。使用的前提是有，关键是图中是否有“垂直”。

3、运用逆向思维，导出定理的逆定理

问题：将定理的条件与结论“换位”得到一个新命题，说出这个新命题的内容，并判断命题是真命题还是假命题？学生分析、讨论用文字叙述内容，老师作必要的提示。

逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个上。

强调：a逆定理的作用：证明角相等

b、二定理的区别与联系：性质定理说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；判定定理反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等（角平分线）

4、原命题与逆命题

a、概念

b、写出互逆命题的关键。

c、原使命与逆使命的真假性并无一定的依存关系。

5、定理的应用(投影四个例题)

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角的平分线篇3

知识结构

重点与难点分析：

本节内容的重点是角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等，开辟了新的途径，简化了证明过程。

本节内容的难点是：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。对于原命题和逆命题，学生对条件和结论容易混淆，特别是没有明显的提示语言时，更易找不准条件和结论，这就成了教学的难点。

教法建议：

整堂课围绕“以复习为基础，以过程为主线，以思维为中心，以训练为手段”开展教学。注重学生的参与度，通过提问、板演、讨论等多种形式，让学生直接参加课堂活动，将教与学融为一体。具体说明如下：

（1）做好铺垫

新课引入前，作一个具体画图的练习：已知角画出它的角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。这样做一是复习了角平分线的定义和点到直线距离的定义；二是为本节课的学习奠定了图形基础。

（2）主动获取

利用上面的图形，观察这两个距离的关系，并证明自己的结论。对基础条件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。对基础稍差一些的同学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确，此时教师要做指导。这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动，主动提出此定理。

（3）激荡思维

在上面定理的基础上，让学找出此定理的条件与结论，并交换条件与结论得到一个新的命题，然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到是一个真命题。此时顺理成章地引出教材中的定理2。最后注意强调：两个定理的区别与联系；原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆命题的方法步骤。这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。

（4）推向深入

进行必要的例题讲解，然后进行有层次阶梯性训练，以达到熟练地运用定理证明有关问题。教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。同时让学生总结积累证明线段相等、角相等的常见方法。

教学目标 ：

1、知识目标：

（1）掌握角平分线的性质定理和逆定理；

（2）能够运用性质定理和逆定理证明两个角相等或两条线段相等；

（3）能够判定两个命题是否为互逆命题，并能写出一个命题的逆命题.

2、能力目标：

（1）通过“判断题”的练习，提高学生的辨析能力；

（2）通过公理的初步应用，培养学生的逻辑推理能力及创新的能力.

3、情感目标：

（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。

教学重点：角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。

教学难点 ：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。。

教学用具：直尺，微机

教学方法：谈话法

教学过程 ：

1、新课引入

投影显示

问题：（1）画一个；

（2）在这条平分线上任取一点P，标出P点到角两边的距离。

（3）说出这两段距离的关系并证明。

2、定理的获得

让学生用文字语言叙述出定理的内容

角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角两边距离相等。

强调说明：

（1）、定理的条件及结论的符号表示；

（2）、定理的作用：直接证明两线段相等。使用的前提是有，关键是图中是否有“垂直”。

3、运用逆向思维，导出定理的逆定理

问题：将定理的条件与结论“换位”得到一个新命题，说出这个新命题的内容，并判断命题是真命题还是假命题？学生分析、讨论用文字叙述内容，老师作必要的提示。

逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个上。

强调：a逆定理的作用：证明角相等

b、二定理的区别与联系：性质定理说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；判定定理反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等（角平分线）

4、原命题与逆命题

a、概念

b、写出互逆命题的关键。

c、原使命与逆使命的真假性并无一定的依存关系。

5、定理的应用(投影四个例题)

例1、已知：如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

学生先分析，教师巡视并适当点拨。

投影显示学生的证明过程，师生共同纠正补充完善。

投影规范的书写格式:

（见书中例题）

此题设想：（1）语言要规范。例“过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F”这一段话一定要在证明中写出。

（2）几何证明中，常见“同理”二字，讲清“同理”适用的条件以免以后乱用。

例2、已知：如图2，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.

求证：P在∠A的平分线上

证明：（略）

设想：（1）证明“点在线上”这类问题的解决方法

（2）“一般解题方法”的运用

（3）投影显示学生的书写步骤，检查学生数学语言是否规范。

例3、写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题

（1）全等三角形的对应角相等；

（2）对顶角相等；

（3）如果，那么；

（4）直角三角形的两个锐角互余.

例4、已知：如图3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点

求证：∠BDP＝∠CDP

证明：（略）

设想：一般解题方法的教学。

6、课堂小结：教师引导学生总结

(1)角平分线的性质定理及逆定理；

(2)二定理的关系；

(3)一般解题方法

让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。

5、布置作业 ：

(a)书面作业 P80＃9

(b)思考题：

(1)已知：如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.

求证：∠A+∠C＝

（2）求证三角形的三条内角平分线交于一点。

板书设计 ：

探究活动

如图，公路南有一学校在铁路的东侧，到公路的距离与到铁路的距离相等，并且与两路交叉处O的距离为400米，在图上标出学校的位置，并说明理由（比例尺1：10000）。

提示：解决这类问题的方法是把实际应用问题转化为数学问题，然后用数学知识解决。

解：把公路、铁路看作两条相交直线，画出它们交，在上，从顶点量出表示实际400米长的线段便可确定学校的位置。表示实际400米长的线段为：0.04米＝4cm

角的平分线篇4

知识结构

重点与难点分析：

本节内容的重点是角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等，开辟了新的途径，简化了证明过程。

本节内容的难点是：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。对于原命题和逆命题，学生对条件和结论容易混淆，特别是没有明显的提示语言时，更易找不准条件和结论，这就成了教学的难点。

教法建议：

整堂课围绕“以复习为基础，以过程为主线，以思维为中心，以训练为手段”开展教学。注重学生的参与度，通过提问、板演、讨论等多种形式，让学生直接参加课堂活动，将教与学融为一体。具体说明如下：

（1）做好铺垫

新课引入前，作一个具体画图的练习：已知角画出它的角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。这样做一是复习了角平分线的定义和点到直线距离的定义；二是为本节课的学习奠定了图形基础。

（2）主动获取

利用上面的图形，观察这两个距离的关系，并证明自己的结论。对基础条件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。对基础稍差一些的同学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确，此时教师要做指导。这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动，主动提出此定理。

（3）激荡思维

在上面定理的基础上，让学找出此定理的条件与结论，并交换条件与结论得到一个新的命题，然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到是一个真命题。此时顺理成章地引出教材中的定理2。最后注意强调：两个定理的区别与联系；原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆命题的方法步骤。这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。

（4）推向深入

进行必要的例题讲解，然后进行有层次阶梯性训练，以达到熟练地运用定理证明有关问题。教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。同时让学生总结积累证明线段相等、角相等的常见方法。

教学目标：

1、知识目标：

（1）掌握角平分线的性质定理和逆定理；

（2）能够运用性质定理和逆定理证明两个角相等或两条线段相等；

（3）能够判定两个命题是否为互逆命题，并能写出一个命题的逆命题.

2、能力目标：

（1）通过“判断题”的练习，提高学生的辨析能力；

（2）通过公理的初步应用，培养学生的逻辑推理能力及创新的能力.

3、情感目标：

（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。

教学重点：角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。

教学难点：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。。

教学用具：直尺，微机

教学方法：谈话法

教学过程：

1、新课引入

投影显示

问题：（1）画一个；

（2）在这条平分线上任取一点P，标出P点到角两边的距离。

（3）说出这两段距离的关系并证明。

2、定理的获得

让学生用文字语言叙述出定理的内容

角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角两边距离相等。

强调说明：

（1）、定理的条件及结论的符号表示；

（2）、定理的作用：直接证明两线段相等。使用的前提是有，关键是图中是否有“垂直”。

3、运用逆向思维，导出定理的逆定理

问题：将定理的条件与结论“换位”得到一个新命题，说出这个新命题的内容，并判断命题是真命题还是假命题？学生分析、讨论用文字叙述内容，老师作必要的提示。

逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个上。

强调：a逆定理的作用：证明角相等

b、二定理的区别与联系：性质定理说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；判定定理反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等（角平分线）

4、原命题与逆命题

a、概念

b、写出互逆命题的关键。

c、原使命与逆使命的真假性并无一定的依存关系。

5、定理的应用(投影四个例题)

例1、已知：如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

学生先分析，教师巡视并适当点拨。

投影显示学生的证明过程，师生共同纠正补充完善。

投影规范的书写格式:

（见书中例题）

此题设想：（1）语言要规范。例“过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F”这一段话一定要在证明中写出。

（2）几何证明中，常见“同理”二字，讲清“同理”适用的条件以免以后乱用。

例2、已知：如图2，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.

求证：P在∠A的平分线上

证明：（略）

设想：（1）证明“点在线上”这类问题的解决方法

（2）“一般解题方法”的运用

（3）投影显示学生的书写步骤，检查学生数学语言是否规范。

例3、写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题

（1）全等三角形的对应角相等；

（2）对顶角相等；

（3）如果，那么；

（4）直角三角形的两个锐角互余.

例4、已知：如图3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点

求证：∠BDP＝∠CDP

证明：（略）

设想：一般解题方法的教学。

6、课堂小结：教师引导学生总结

(1)角平分线的性质定理及逆定理；

(2)二定理的关系；

(3)一般解题方法

让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。

5、布置作业 ：

(a)书面作业 P80＃9

(b)思考题：

(1)已知：如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.

求证：∠A+∠C＝

（2）求证三角形的三条内角平分线交于一点。

板书设计：

探究活动

如图，公路南有一学校在铁路的东侧，到公路的距离与到铁路的距离相等，并且与两路交叉处O的距离为400米，在图上标出学校的位置，并说明理由（比例尺1：10000）。

提示：解决这类问题的方法是把实际应用问题转化为数学问题，然后用数学知识解决。

解：把公路、铁路看作两条相交直线，画出它们交，在上，从顶点量出表示实际400米长的线段便可确定学校的位置。表示实际400米长的线段为：0.04米＝4cm

角的平分线篇5

知识结构

重点与难点分析：

本节内容的重点是角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等，开辟了新的途径，简化了证明过程。

本节内容的难点是：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。对于原命题和逆命题，学生对条件和结论容易混淆，特别是没有明显的提示语言时，更易找不准条件和结论，这就成了教学的难点。

教法建议：

整堂课围绕“以复习为基础，以过程为主线，以思维为中心，以训练为手段”开展教学。注重学生的参与度，通过提问、板演、讨论等多种形式，让学生直接参加课堂活动，将教与学融为一体。具体说明如下：

（1）做好铺垫

新课引入前，作一个具体画图的练习：已知角画出它的角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。这样做一是复习了角平分线的定义和点到直线距离的定义；二是为本节课的学习奠定了图形基础。

（2）主动获取

利用上面的图形，观察这两个距离的关系，并证明自己的结论。对基础条件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。对基础稍差一些的同学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确，此时教师要做指导。这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动，主动提出此定理。

（3）激荡思维

在上面定理的基础上，让学找出此定理的条件与结论，并交换条件与结论得到一个新的命题，然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到是一个真命题。此时顺理成章地引出教材中的定理2。最后注意强调：两个定理的区别与联系；原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆命题的方法步骤。这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。

（4）推向深入

进行必要的例题讲解，然后进行有层次阶梯性训练，以达到熟练地运用定理证明有关问题。教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。同时让学生总结积累证明线段相等、角相等的常见方法。

教学目标 ：

1、知识目标：

（1）掌握角平分线的性质定理和逆定理；

（2）能够运用性质定理和逆定理证明两个角相等或两条线段相等；

（3）能够判定两个命题是否为互逆命题，并能写出一个命题的逆命题.

2、能力目标：

（1）通过“判断题”的练习，提高学生的辨析能力；

（2）通过公理的初步应用，培养学生的逻辑推理能力及创新的能力.

3、情感目标：

（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。

教学重点：角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。

教学难点 ：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。。

教学用具：直尺，微机

教学方法：谈话法

教学过程 ：

1、新课引入

投影显示

问题：（1）画一个；

（2）在这条平分线上任取一点P，标出P点到角两边的距离。

（3）说出这两段距离的关系并证明。

2、定理的获得

让学生用文字语言叙述出定理的内容

角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角两边距离相等。

强调说明：

（1）、定理的条件及结论的符号表示；

（2）、定理的作用：直接证明两线段相等。使用的前提是有，关键是图中是否有“垂直”。

3、运用逆向思维，导出定理的逆定理

问题：将定理的条件与结论“换位”得到一个新命题，说出这个新命题的内容，并判断命题是真命题还是假命题？学生分析、讨论用文字叙述内容，老师作必要的提示。

逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个上。

强调：a逆定理的作用：证明角相等

b、二定理的区别与联系：性质定理说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；判定定理反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等（角平分线）

4、原命题与逆命题

a、概念

b、写出互逆命题的关键。

c、原使命与逆使命的真假性并无一定的依存关系。

5、定理的应用(投影四个例题)

例1、已知：如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

学生先分析，教师巡视并适当点拨。

投影显示学生的证明过程，师生共同纠正补充完善。

投影规范的书写格式:

（见书中例题）

此题设想：（1）语言要规范。例“过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F”这一段话一定要在证明中写出。

（2）几何证明中，常见“同理”二字，讲清“同理”适用的条件以免以后乱用。

例2、已知：如图2，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.

求证：P在∠A的平分线上

证明：（略）

设想：（1）证明“点在线上”这类问题的解决方法

（2）“一般解题方法”的运用

（3）投影显示学生的书写步骤，检查学生数学语言是否规范。

例3、写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题

（1）全等三角形的对应角相等；

（2）对顶角相等；

（3）如果，那么；

（4）直角三角形的两个锐角互余.

例4、已知：如图3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点

求证：∠BDP＝∠CDP

证明：（略）

设想：一般解题方法的教学。

6、课堂小结：教师引导学生总结

(1)角平分线的性质定理及逆定理；

(2)二定理的关系；

(3)一般解题方法

让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。

5、布置作业 ：

(a)书面作业 P80＃9

(b)思考题：

(1)已知：如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.

求证：∠A+∠C＝

（2）求证三角形的三条内角平分线交于一点。

板书设计 ：

探究活动

如图，公路南有一学校在铁路的东侧，到公路的距离与到铁路的距离相等，并且与两路交叉处O的距离为400米，在图上标出学校的位置，并说明理由（比例尺1：10000）。

提示：解决这类问题的方法是把实际应用问题转化为数学问题，然后用数学知识解决。

解：把公路、铁路看作两条相交直线，画出它们交，在上，从顶点量出表示实际400米长的线段便可确定学校的位置。表示实际400米长的线段为：0.04米＝4cm

角的平分线篇6

教学目标 

1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用.

2.理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题.

3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。

教学重点和难点

角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点.

性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点.

教学过程 设计

一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明

1，复习引入课题.

（1）提问关于直角三角形全等的判定定理.

（2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角

平分线OC.

2.画图探索角平分线的性质并证明之.

（1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一

点P，并分别作出表示P点到∠AOB两边的距离的线段

PD，PE.

（2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理.

（3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式.

3.逆向思维探求角平分线的判定定理.

（1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理.

（2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2.

（3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程.

4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.

（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）.

（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）.

由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.

二、应用举例、变式练习

练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D

PE⊥OB于E.∴---------（角平分线的性质定理）.

（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴OP平分∠AOB（-------------）     

例1已知：如图3－87（a），    ABC的角平分线BD和CE交于F.

（l）求证：F到AB，BC和AC边的距离相等；

（2）求证：AF平分∠BAC；

（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；

（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？

（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图3-87（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？

说明：

（1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的.

（2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。

（3）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力.

练习2已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等.

练习3已知：如图3－88，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥BC，AD⊥DC.求证：点C在∠DAB的平分线上.

例2已知：如图3－89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于C，ED⊥OB于D.求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD.

分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到OC＝OD.这样处理，可避免证明两个三角形全等.

练习4 课本第54页的练习.

说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力.

三、互逆命题，互逆定理的定义及应用

1.互逆命题、互逆定理的定义.

教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子.教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题.

2.会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题.

例3写出下列命题的逆命题，并判断（1）～（5）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）直角三角形的两锐角互余；

（3）对顶角相等；

（4）全等三角形的对应角相等；

（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y；

（6）等腰三角形的两个底角相等；

（7）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（6）题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”.

3.理解互逆命题、互逆定理的有关结论.

例4 判断下列命题是否正确：

（1）错误的命题没有逆命题；

（2）每个命题都有逆命题；

（3）一个真命题的逆命题一定是正确的；

（4）一个假命题的逆命题一定是错误的；

（5）每一个定理都一定有逆定理.

通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义.

四、师生共同小结

1.角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？

2.三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？

3.怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？

五、作业 

课本第55页第3，5，6，7，8，9题.

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成.

角平分线是符合某种条件的动点的集合，因此，利用教具，投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能展示知识的形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，从中提高兴趣，以充分培养能力，发挥学生学习的主动性

角的平分线篇7

3.9角的平分线

教学目标 

1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用.

2.理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题.

3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。

教学重点和难点

角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点.

性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点.

教学过程 设计

一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明

1，复习引入课题.

（1）提问关于直角三角形全等的判定定理.

（2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角

平分线OC.

2.画图探索角平分线的性质并证明之.

（1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一

点P，并分别作出表示P点到∠AOB两边的距离的线段

PD，PE.

（2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理.

（3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式.

3.逆向思维探求角平分线的判定定理.

（1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理.

（2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2.

（3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程.

4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.

（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）.

（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）.

由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.

二、应用举例、变式练习

练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D

PE⊥OB于E.∴---------（角平分线的性质定理）.

（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴OP平分∠AOB（-------------）     

例1已知：如图3－87（a），    ABC的角平分线BD和CE交于F.

（l）求证：F到AB，BC和AC边的距离相等；

（2）求证：AF平分∠BAC；

（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；

（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？

（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图3-87（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？

说明：

（1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的.

（2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。

（3）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力.

练习2已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等.

练习3已知：如图3－88，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥BC，AD⊥DC.求证：点C在∠DAB的平分线上.

例2已知：如图3－89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于C，ED⊥OB于D.求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD.

分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到OC＝OD.这样处理，可避免证明两个三角形全等.

练习4 课本第54页的练习.

说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力.

三、互逆命题，互逆定理的定义及应用

1.互逆命题、互逆定理的定义.

教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子.教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题.

2.会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题.

例3写出下列命题的逆命题，并判断（1）～（5）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）直角三角形的两锐角互余；

（3）对顶角相等；

（4）全等三角形的对应角相等；

（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y；

（6）等腰三角形的两个底角相等；

（7）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（6）题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”.

3.理解互逆命题、互逆定理的有关结论.

例4 判断下列命题是否正确：

（1）错误的命题没有逆命题；

（2）每个命题都有逆命题；

（3）一个真命题的逆命题一定是正确的；

（4）一个假命题的逆命题一定是错误的；

（5）每一个定理都一定有逆定理.

通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义.

四、师生共同小结

1.角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？

2.三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？

3.怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？

五、作业 

课本第55页第3，5，6，7，8，9题.

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成.

角平分线是符合某种条件的动点的集合，因此，利用教具，投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能展示知识的形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，从中提高兴趣，以充分培养能力，发挥学生学习的主动性.

3.9角的平分线

教学目标 

1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用.

2.理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题.

3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。

教学重点和难点

角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点.

性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点.

教学过程 设计

一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明

1，复习引入课题.

（1）提问关于直角三角形全等的判定定理.

（2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角

平分线OC.

2.画图探索角平分线的性质并证明之.

（1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一

点P，并分别作出表示P点到∠AOB两边的距离的线段

PD，PE.

（2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理.

（3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式.

3.逆向思维探求角平分线的判定定理.

（1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理.

（2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2.

（3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程.

4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.

（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）.

（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）.

由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.

二、应用举例、变式练习

练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D

PE⊥OB于E.∴---------（角平分线的性质定理）.

（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴OP平分∠AOB（-------------）     

例1已知：如图3－87（a），    ABC的角平分线BD和CE交于F.

（l）求证：F到AB，BC和AC边的距离相等；

（2）求证：AF平分∠BAC；

（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；

（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？

（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图3-87（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？

说明：

（1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的.

（2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。

（3）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力.

练习2已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等.

练习3已知：如图3－88，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥BC，AD⊥DC.求证：点C在∠DAB的平分线上.

例2已知：如图3－89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于C，ED⊥OB于D.求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD.

分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到OC＝OD.这样处理，可避免证明两个三角形全等.

练习4 课本第54页的练习.

说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力.

三、互逆命题，互逆定理的定义及应用

1.互逆命题、互逆定理的定义.

教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子.教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题.

2.会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题.

例3写出下列命题的逆命题，并判断（1）～（5）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）直角三角形的两锐角互余；

（3）对顶角相等；

（4）全等三角形的对应角相等；

（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y；

（6）等腰三角形的两个底角相等；

（7）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（6）题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”.

3.理解互逆命题、互逆定理的有关结论.

例4 判断下列命题是否正确：

（1）错误的命题没有逆命题；

（2）每个命题都有逆命题；

（3）一个真命题的逆命题一定是正确的；

（4）一个假命题的逆命题一定是错误的；

（5）每一个定理都一定有逆定理.

通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义.

四、师生共同小结

1.角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？

2.三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？

3.怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？

五、作业 

课本第55页第3，5，6，7，8，9题.

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成.

角平分线是符合某种条件的动点的集合，因此，利用教具，投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能展示知识的形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，从中提高兴趣，以充分培养能力，发挥学生学习的主动性.

角的平分线篇8

一、教学目标

【知识与技能】了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明与计算。

【过程与方法】在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力。

【情感态度与价值观】在主动参与数学活动的过程中，增强探究问题的兴趣、有合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,获得解决问题的成功体验。

二、教学重难点

【重点】角的平分线的性质的证明及应用。

【难点】角的平分线的性质的探究。

三、教学过程

(一)导入新课

1.复习角平分线的画法

2.利用PPT创设情景：

如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗?

(二)生成新知

探究做一做(学生独立完成，同组同学交流，找学生到黑板上板演.教师纠正答案)

如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?试着证明你的结论.

0011.jpg

∴△PDO≌△PEO(AAS)

∴PD=PE.

(三)深化新知

思考：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题?(由学生讨论汇报)

(四)应用新知

1.例题：解决导入中PPT的问题

2.练一练：(1)下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形_____中PD=PE.

0012.jpg

(五)小结作业

小结：通过这节课的学习，你有什么收获?你对今天的学习还有什么疑问吗?

作业：必做题，选做题，思考题：角平分线性质的逆命题并证明。

角的平分线篇9

3.9角的平分线

教学目标 

1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用.

2.理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题.

3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。

教学重点和难点

角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点.

性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点.

教学过程 设计

一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明

1，复习引入课题.

（1）提问关于直角三角形全等的判定定理.

（2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角

平分线OC.

2.画图探索角平分线的性质并证明之.

（1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一

点P，并分别作出表示P点到∠AOB两边的距离的线段

PD，PE.

（2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理.

（3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式.

3.逆向思维探求角平分线的判定定理.

（1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理.

（2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2.

（3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程.

4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.

（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）.

（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）.

由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.

二、应用举例、变式练习

练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D

PE⊥OB于E.∴---------（角平分线的性质定理）.

（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴OP平分∠AOB（-------------）     

例1已知：如图3－87（a），    ABC的角平分线BD和CE交于F.

（l）求证：F到AB，BC和AC边的距离相等；

（2）求证：AF平分∠BAC；

（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；

（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？

（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图3-87（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？

说明：

（1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的.

（2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。

（3）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力.

练习2已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等.

练习3已知：如图3－88，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥BC，AD⊥DC.求证：点C在∠DAB的平分线上.

例2已知：如图3－89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于C，ED⊥OB于D.求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD.

分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到OC＝OD.这样处理，可避免证明两个三角形全等.

练习4 课本第54页的练习.

说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力.

三、互逆命题，互逆定理的定义及应用

1.互逆命题、互逆定理的定义.

教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到